Проскінченна група

У математиці проскінченною групою називається топологічна група, яка є проєктивною границею скінченних груп. Для них існують узагальнення багатьох властивостей скінченних груп, зокрема теореми Лагранжа і Силова.

Некомпактним узагальненням проскінченних груп є локально проскінченні групи.

Означення

Існує кілька еквівалентних означень проскінченних груп.

Перше означення

Проскінченною групою називається топологічна група, що є ізоморфною проєктивній границі дискретних скінченних груп.

Докладніше для деякої частково впорядкованої множини $(I,\leqslant )$ , множина скінченних груп ${\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\in I\}$ із дискретними топологіями і гомоморфізмів $\{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leqslant j\}$ таких, що $f_{i}^{i}$ є тотожним гомоморфізмом на $G_{i}$ і виконуються умови композиції $f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}$ , проєктивною границею є множина:

$\varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ для all }}j\geqslant i\right\}$ .

На цій множині можна ввести топологію індуковану із добутку топологій, а також структуру групи за допомогою покомпонентного виконання відповідних групових операцій. Із цими структурами $\varprojlim G_{i}$ є топологічною групою, яка і називається проскінченною групою.

Якщо позначити $p_{i}:\varprojlim G_{i}\to G_{i}$ — проєкції на відповідні компоненти, то для $i\leqslant j$ тоді $p_{i}=f_{i}^{j}\circ p_{j}.$ Ці проєкції дозволяють також сформулювати означення проєктивної границі за допомогою універсальної властивості: для множини $\{G_{i}:i\in I\}$ скінченних груп із гомоморфізмами як вище, проскінченною групою називається група G із гомоморфізмами $p_{i}:G\to G_{i}$ для яких $p_{i}=f_{i}^{j}\circ p_{j}$ для $i\leqslant j$ і до того ж, якщо H є іншою групою для якої існують гомоморфізми $h_{i}:H\to G_{i}$ такі, що $h_{i}=f_{i}^{j}\circ h_{j}$ для $i\leqslant j$ , то існує єдиний гомоморфізм $h:H\to G$ для якого $h_{i}=p_{i}\circ h.$

Друге означення

Проскінченною групою називається гаусдорфова, компактна група для одиничного елемента (і відповідно для будь-якого елемента) якої існує база околів який складається із відкрито-замкнутих підмножин.

Більш того еквівалентно можна вимагати щоб база околів складалася лише із відкритих підгруп (вони тоді також будуть замкнутими і отже відкрито-замкнутими підмножи) і навіть із відкритих (і тому також відкрито-замкнутих) нормальних підгруп.

Третє означення

Проскінченна група є гаусдорфовою, компактною і цілком незв'язною топологічною групою, тобто топологічною групою, яка також є простором Стоуна. При такому означенню перше означення можна одержати розглянувши проєктивну границю $\varprojlim G/N$ де $N$ є відкритими нормальними підгрупами групи $G$ упорядкованими оберненим вкладенням підмножин.

Доведення еквівалентності

(1) -> (2)

Нехай $(a_{i})_{i\in I}$ і $(b_{i})_{i\in I}$ є двома різними елементами групи G як у першому означенні. Відповідно $a_{j}\neq b_{j}$ для деякого $j\in I$ і оскільки група $G_{j}$ є дискретною то одноелементні підгрупи $\{a_{j}\},\ \{b_{j}\}\subset G_{j}$ є відкритими підмножинами. Відповідно їх прообрази при проєкції $p_{j}^{-1}(\{a_{j}\})$ і $p_{j}^{-1}(\{b_{j}\})$ теж є відкритими і їх перетин є порожнім. Оскільки очевидно $(a_{i})\in p_{j}^{-1}(\{a_{j}\})$ і $b_{i}\in p_{j}^{-1}(\{b_{j}\})$ то група G є гаусдорфовою.

Усі групи $G_{i}$ в означенні є скінченними дискретними, а тому компактними. Відповідно і їх добуток є компактним. Оскільки $G_{i}$ також є гаусдорфовими, то всі підгрупи G, що є розв'язками рівнянь $p_{j}=f_{j}^{k}\circ p_{k}$ для $j\leqslant k$ є замкнутими. Оскільки проєктивна границя є рівною перетину таких підгруп вона є замкнутою як підмножина добутку $G_{i}$ і тому компактною, як замкнута підмножина компактного простору.

Також як підпростір добутку просторів G має базу топології виду $G\cap \prod _{i\in I}U_{i}$ де всі $U_{i}$ є відкритими підмножинами $G_{i}$ і всі вони за винятком скінченної кількості є рівними $G_{i}$ . Нехай тепер $(a_{i})_{i\in I}$ є довільною точкою G і $G\cap \prod _{i\in I}U_{i}$ є деякою множиною із базиса, що містить цю точку. Якщо $i_{1},\ldots ,i_{n}$ є скінченною множиною індексів для яких $U_{i}\neq G_{i}$ то всі $a_{i_{k}}\in U_{i_{k}}$ і, оскільки всі групи $G_{i}$ є дискретними і томі всі одноточкові підмножини відкрито-замкнутими, прообрази $p_{i_{k}}^{-1}(\{a_{i_{k}}\})$ є відкрито-замкнутими. Тому також їх перетин $p_{i_{1}}^{-1}(\{a_{i_{1}}\})\cap \ldots \cap p_{i_{n}}^{-1}(\{a_{i_{n}}\})$ є відкрито-замкнутою підмножиною і до того ж цей перетин міститься у $G\cap \prod _{i\in I}U_{i}$ . Тобто для кожної точки і множини із бази, що містить цю точку знайдено відкрито-замкнутий окіл точки, що міститься у множині бази. Тому відкрито-замкнуті околи точки утворюють базу околів точки. Зрозуміло, що для топологічних груп достатньо розглядати лише околи одиничного елемента e оскільки кожен окіл елемента $g\in G$ має вигляд $gU,$ де U — окіл одиничного елемента і цей окіл є відкритим, замкнутим чи відкрито-замкнутим тоді і тільки тоді коли таким є U.

Розглянемо тепер відкрито-замкнуті околи одиничного елемента і доведемо, що кожен такий окіл містить відкриту підгрупу і навіть нормальну підгрупу. Кожна відкрито-замкнута підмножина A є компактною і відкритою, а тому із загальних властивостей топологічних груп випливає існування відкритого околу V одиничного елемента для якого $VA\subset A$ . Якщо позначити $W=V\cap V^{-1}$ , то W є відкритим околом одиничного елемента і $W=W^{-1}$ . Також $WA=W^{-1}A\subset A$ і за індукцією $W^{n}A\subset A$ для всіх цілих чисел n. Якщо H є групою породженою елементами із W, то $H=\cup _{n\in \mathbb {Z} }W^{n}A$ , тож H є відкритою підгрупою і $H\subset A,$ що доводить першу частину твердження.

Як відкрита підгрупа у компактній групі H має скінченний індекс і тому скінченну кількість різних груп виду $g^{-1}Hg$ для $g\in G$ . Їх перетин буде відкритою нормальною групою, що міститься в H і тому в A.

(2) -> (3)

Оскільки G є компактним простором, то компонента зв'язності точки $g\in G$ є перетином всіх відкрито-замкнутих підмножин, що містять цю точку. Також G є гаусдорфовим тому перетин всіх відкритих околів $g$ є рівним цій точці. Оскільки за означенням 2 кожен відкритий окіл містить відкрито-замкнутий окіл, то перетин відкрито-замкнутих околів є рівним $g$ . Тобто всі компоненти зв'язності є одноточковими і простір є цілком незв'язним.

(3) -> (1)

Оскільки простір є гаусдорфовим, компактним і цілком незв'язним то його одиничний елемент, як компонент зв'язності є рівним перетину всіх відкрито-замкнутих околів і оскільки як і вище кожен відкрито-замкнутий окіл містить відкриту нормальну підгрупу, то перетин всіх таких груп є теж рівним одиничному елементу. Позначимо $N_{i}:i\in I$ систему таких підгруп. Оскільки G є компактним простором і усі $N_{i}$ є відкритими підгрупами, то факторгрупи $A_{i}:=G/N_{i},\ i\in I$ є скінченними. Введемо на I відношення часткового порядку: $i\leqslant j$ якщо $N_{j}\subseteq N_{i}$ і у цьому випадку визначені стандартні гомоморфізми $f_{i}^{j}:A_{j}\to A_{i}$ задані як $f_{i}^{j}(gN_{j})=gN_{i}.$ Для таких груп і гомоморфізмів можна ввести проєктивну границю $A=\varprojlim A_{i}$ із стандартними проєкціями $p_{i}:A\to A_{i}$ для яких $p_{i}=f_{i}^{j}\circ p_{j}$ . Група A буде проскінченною за означенням 1.

Для групи G також існують неперервні гомоморфізми факторизації $q_{i}:G\to A_{i}$ для яких $q_{i}=f_{i}^{j}\circ q_{j}$ . Із універсальної властивості проєктивної границі випливає існування неперервного гомоморфізму $f:G\to H$ для якого $q_{i}=p_{i}\circ f$ для всіх i.

f є ін'єктивним гомоморфізмом. Справді одиничний елемент групи A має вигляд $E=(eN_{i}),\ i\in I$ і якщо для якогось елемента $f(g)=E$ то $g\in N_{i}$ для всіх i. Оскільки перетин $N_{i}$ є рівним одиничному елементу, то $g=i.$

Якщо $(g_{i}N_{i}),\ i\in I$ є якимось елементом A, то всі $g_{i}N_{i}$ є замкнутими підмножинами оскільки $N_{i}$ є відкрито-замкнутими. Для скінченної множини індексів $i_{1},\ldots ,i_{n}$ перетин $\cap _{i_{k}}N_{i_{k}}$ теж є нормальною підгрупою $N_{r}$ , а тому $g_{r}N_{r}\subset \cap _{i_{k}}g_{i_{k}}N_{i_{k}}$ тобто перетин довільної скінченної кількості множин виду $g_{i}N_{i}$ є непорожнім. Із компактності звідси випливає існування $g\in \cap _{i\in I}g_{i}N_{i}.$ Але тоді $gN_{i}=g_{i}N_{i}$ для всіх i тобто елемент $(g_{i}N_{i}),\ i\in I$ елемента g при гомоморфізмі f. Звідси f є сюр'єктивним.

Загалом f є бієктивним неперервним гомоморфізмом. Але G компактним простором і A є гаусдорфовим, а тому бієктивне неперервне відображення між такими просторами є гомеоморфізмом. Тобто G і A є ізоморфними як топологічні групи і G є проскінченною у першому означенні.

Приклади

Скінченні групи із дискретною топологією є проскінченними.
Група p-адичних цілих чисел $\mathbb {Z} _{p}$ із операцією додавання є проскінченною (навіть проциклічною). Вона є проєктивною границею скінченних груп $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ де n є натуральними числами і стандартних відображень $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ для $n\geqslant m$ . Топологія $\mathbb {Z} _{p}$ як проскінченної групи є рівною топології одержаної із p-адичного нормування елементів $\mathbb {Z} _{p}$ .
Група проскінченних цілих чисел ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ є проєктивною границею скінченних груп $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ де $n=1,2,3,\dots$ і стандартних відображень $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ для $m|n$ . Ця група є добутком усіх груп $\mathbb {Z} _{p}$ і є абсолютною групою Галуа для будь-якого скінченного поля.
У теорії Галуа для нескінченних розширень полів природно виникають групи Галуа, які є проскінченними. А саме, якщо L/K є розширенням Галуа і елементами групи G = Gal(L/K) є автоморфізми поля L, які є тотожними на підгрупі K, то G є проєктивною границею скінченних груп Gal(F/K), де F є підполем L, що містить K і розширення F/K є скінченним розширенням Галуа. Проєктивна границя будується для гомоморфізмів включення Gal(F₁/K) → Gal(F₂/K), де F₂ ⊆ F₁. Топологія Gal(L/K) як проскінченної групи називається топологією Круля. Кожна проскінченна група є ізоморфною групі Галуа для деякого поля K але наразі невідомі методи визначення для якого саме поля. Більш того для багатьох полів невідомо які скінченні групи є групами Галуа для якогось розширення K. Не кожна проскінченна група є абсолютною групою Галуа для деякого поля.

Властивості

Добуток довільної кількості проскінченних груп є проскінченною групою; топологія її як проскінченної групи є рівною. Проєктивна границя оберненої системи проскінченних груп із неперервними гомоморфізмами є проскінченною групою і функтор проєктивної границі є точним на категорії проскінченних груп.
Кожна замкнута підгрупа проскінченної групи є проскінченною; топологія топологія її як проскінченної групи є рівною фактортопології. Якщо N є замкнутою нормальною підгрупою проскінченної групи G, тоді факторгрупа G/N є проскінченною; топологія її як проскінченної групи є рівною фактортопології.
Оскільки кожна проскінченна група G є компактною і Гаусдорфовою на G існує міра Хаара.
Підгрупа проскінченної групи є відкритою якщо і тільки якщо вона є замкнутою і має скінченний індекс.
Теорема Ніколова — Сегала. У топологічно скінченнопородженій проскінченній групі (тобто проскінченній групі для якої існує щільна скінченно породжена підгрупа) підгрупи скінченного індекса є відкритими.
Як наслідок із попередньої властивості, якщо φ: G → H є сюрєктивним гомоморфізмом проскінченних груп G і H і G є топологічно скінченнопородженою, то φ є неперервним. Справді, кожна підгрупа H має скінченний індекс, тож її прообраз у G теж має скінченний індекс, отже є відкритою підгрупою.
Нехай G і H є топологічно скінченнопородженими проскінченними групами, що є ізоморфними як абстрактні групи із ізоморфізмом ι. Тоді ι є бієкцією і неперервним відображенням згідно із попереднім результатом. Аналогічно і ι⁻¹ є неперервним, тож ι є гомеоморфізмом. Таким чином топологія на топологічно скінченнопородженій проскінченній групі повністю визначається її алгебричною структурою.

Проскінченне поповнення

Для довільної групи $G$ існує пов'язана проскінченна група ${\widehat {G}}$ , яка називається проскінченним поповненням групи $G$ . За означенням вона є проєктивною границею груп $G/N$ , де $N$ є нормальними підгрупами у $G$ , що мають скінченний індекс (як і вище ці нормальні підгрупи можна частково впорядкувати за включенням із природніми гомоморфізмами між факторгрупами можна одержати систему скінченних груп). Існує натуральний гомоморфізм $\eta :G\rightarrow {\widehat {G}}$ і образ $G$ при цьому є щільним у ${\widehat {G}}$ . Гомоморфізм $\eta$ є ін'єктивним якщо і тільки якщо для групи $G$ виконується рівність $\bigcap {N}=1$ , де перетин береться для всіх нормальних підгруп скінченного індекса. Для гомоморфізма $\eta$ виконується універсальна властивість: для будь-якої проскінченної групи $H$ і гомоморфізму груп $f:G\rightarrow H$ існує єдиний неперервний гомоморфізм груп $g:{\widehat {G}}\rightarrow H$ для якого $f=g\eta$ .

Див. також

Література

Higgins, Philip J. (1974), An Introduction to Topological Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 15, Cambridge University Press, ISBN 0-521-20527-1
Benjamin Klopsch, Nikolay Nikolov, Christopher Voll (2011). Lectures on Profinite Topics in Group Theory. London Mathematical Society Student Texts. Т. 77. Cambridge University Press. ISBN 9781107005297.
Luis Ribes; Pavel Zalesskii (2010). Profinite groups. Springer-Verlag. ISBN 9783642016417.
Stephen S. Shatz (1972). Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry. Annals of Mathematics Studies. Т. 67. Princeton University Press. ISBN 9780691080178.
Waterhouse, William C. (1974), Profinite groups are Galois groups, Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 42 (2): 639—640, doi:10.2307/2039560, JSTOR 2039560, Zbl 0281.20031.
Wilson, John S. (John Stuart) (1998). Profinite groups. Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198500827. OCLC 40658188.