В математиці міра Хаараміра на локально компактних топологічних групах, що узагальнює міру Лебега в евклідових просторах. Названа на честь угорського математика Альфреда Хаара.

ВизначенняРедагувати

Нехай G локально-компактна топологічна група. Якщо a елемент групи G і Sпідмножина G, тоді можна визначити ліві і праві перенесення:

  • Ліве перенесення:
 
  • Праве перенесення:
 

Ліві і праві перенесення множин Бореля є множинами Бореля.

Міра μ на борелівських підмножинах G називається інваріантною щодо лівих перенесень якщо і тільки якщо для всіх борелівських підмножин S групи G і всіх   виконується:

 

Подібним чином визначається інваріантність щодо правих перенесень. Борелівська міра   називається регулярною, якщо виконуються умови:

  • μ(K) є скінченною для довільної компактної множини K.
  • Довільна борелівська множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:
  де Uвідкрита множина.
  • Довільна відкрита множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:
  де Kкомпактна множина.

Для довільної локально-компактної топологічної групи існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо лівих перенесень, і ненульовою . Дана множина називається лівою мірою Хаара. Також існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо правих перенесень, ненульовою. Дана множина називається правою мірою Хаара.

Зв'язок між правими і лівими борелівськими мірамиРедагувати

Нехай G локально-компактна топологічна група і   — ліва і права міри Хаара на ній.

Якщо   — борелівська множина, і   — множина обернених елементів до елементів S то

  де   — ліва міра Хаара, є правою мірою Хаара. Дійсно:
 

Оскільки права міра Хаара є єдиною з точністю до множення на константу, то виконується:

 

для всіх борелівських множин S, де k — деяке додатне дійсне число.

Інтеграл ХаараРедагувати

За допомогою міри Хаара можна визначити інтеграл, для всіх вимірних функцій f з аргументами з G. Цей інтеграл називається інтегралом Хаара. Якщо μ — ліва міра Хаара, тоді:

 

ЛітератураРедагувати

  • Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950.
  • Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968.
  • Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1997. ISBN 3-7643-3003-1.