У математиці регулярною мірою у топологічному просторі називається міра, для якої кожна вимірна множина може бути апроксимованою зверху відкритими вимірними множинами і знизу компактними вимірними множинами.

ОзначенняРедагувати

Нехай (XT) — топологічний простір, а Σ — σ-алгебра на X. Нехай μ буде мірою на (X, Σ). Вимірну підмножину A із X називають зовнішньо регулярною, якщо

  де   позначає клас всіх відкритих множин F для яких  

Вимірну підмножину A із X називають внутрішньо регулярною, якщо

 , де   позначає клас всіх компактних підмножин  
  • Міра називається зовнішньою регулярною, якщо кожна вимірна множина є зовнішньо регулярною.
  • Міра називається внутрішньо регулярною, якщо кожна вимірна множина є внутрішньо регулярною. Деякі автори використовують інше визначення: міра називається внутрішньою регулярною, якщо кожна відкрита вимірна множина є внутрішньо регулярною.
  • Міра називається регулярною, якщо вона є зовнішньо регулярною і внутрішньо регулярною.

ПрикладиРедагувати

Регулярні міриРедагувати

Справді із властивості монотонності випливає, що для довільної компактної множини   і довільної відкритої множини   для міри Лебега   і тому  
Навпаки, якщо   то множина є очевидно зовнішньо регулярною. Нехай тепер   і   є довільним додатним числом. За побудовою міри Лебега існує послідовність   відкритих інтервалів для яких   і   Якщо позначити   то   Зважаючи на довільність   то   Разом із доведеною вище протилежною нерівністю це доводить зовнішню регулярність міри Лебега.
Для внутрішньої регулярності нехай спершу множина A є обмеженою. Нехай C є замкнутою і обмеженою множиною, що містить A. Оскільки   є вимірною множиною із вже доведеної зовнішньої регулярності випливає для довільного   існування відкритої множини   для якої   Множина   є обмеженою і замкнутою (а тому компактною) підмножиною A і   Разом із попередньою нерівністю це дає   Зважаючи на довільність   то   Разом із доведеною вище протилежною нерівністю це доводить внутрішню регулярність міри Лебега для обмежених вимірних множин A.
У випадку якщо A є необмеженою, то можна ввести множини   Тоді   є зростаючою послідовністю множин і   Згідно властивості неперервності міри знизу звідси випливає, що   Відповідно для будь-якого дійсного числа   існує натуральне число n, для якого   Але оскільки   є обмеженою, то з вже доведеного існує компактна підмножина   для якої   Тому для довільного   існує компактна підмножина   для якої   Зважаючи на довільність   то   Разом із доведеною вище протилежною нерівністю це доводить внутрішню регулярність міри Лебега для обмежених вимірних множин A і завершує доведення внутрішньої регулярності міри Лебега.

Внутрішні регулярні міри, які не є зовнішніми регулярнимиРедагувати

  • Прикладом міри на дійсній прямій з її звичайною топологією, яка не є зовнішньою регулярною, є міра μ, де  ,   і   для будь-якої іншої множини  .
  • Борелівська міра на площині, значення якої на будь-якій борелівській множині є рівна сумі (1-вимірних) мір його горизонтальних перерізів, є внутрішньо регулярною але не зовнішньою регулярною, оскільки кожна непорожня відкрита множина має нескінченну міру. Різновидом цього прикладу є диз'юнктне об'єднання незліченної кількості копій дійсної прямої із з мірою Лебега.
  • Приклад борелівської міри μ на локально компактному гаусдорфовому просторі, яка є внутрішньо регулярною, σ-скінченною і локально скінченною але не зовнішньо регулярною (Bourbaki, (2004, Вправа 5 розділу 1)). Базовою множиною топологічного простору X є підмножина площини, елементами якої є точки на осі ординат (0,y) і точки виду (1/n,m/n2) для натуральних чисел m,n. На цій множині можна ввести топологію у якій окремі точки (1/n,m/n2) є відкритими множинами, а базу околів точки (0,y) утворюють множини точок у X виду (u,v) з |v − y| ≤ |u| ≤ 1/n для натурального числа n. Цей простір X є локально компактним. Нехай міра μ на осі y є рівною 0, а у точці (1/n,m/n2) ) міра є рівною 1/n3. Ця міра є внутрішньо регулярною та локально скінченною але не є зовнішньо регулярною, оскільки будь-яка відкрита множина, що містить вісь y, має міру рівну нескінченності.

Зовнішні регулярні міри, які не є внутрішніми регулярнимиРедагувати

  • Нехай μ є внутрішньою регулярною мірою із попереднього прикладу, а M є мірою, заданою як M(S) = infU S μ(U), де inf береться по всіх відкритих множинах, що містять борелівську множину S. Тоді M є зовнішньо регулярною локально скінченною борелівською мірою на локально компактному гаусдорфовому просторі, яка не є внутрішньо регулярною, хоча всі відкриті множини є внутрішньо регулярними, тому вона є внутрішньо регулярною у слабшому сенсі. Міри M і μ є рівними на всіх відкритих множинах, усіх компактах і всіх множинах, на яких M має скінченну міру. Вісь y має нескінченну M-міру, хоча всі її компактні підмножини мають міру 0.

Міри, які не є ні внутрішніми ні зовнішніми регулярнимиРедагувати

  • Простір X усіх ординалів, що є не більшими першому незліченному ординалу Ω, з топологією, породженою передбазою відкритих інтервалів, тобто множинами виду   і   для усіх   є компактним гаусдорфовим простором. На ньому можна задати міру, значення якої на борелівських множинах, що містять необмежену замкнуту підмножину злічених ординалів є рівним 1, а для інших борелівських множин є рівним 0. Ця міра є ймовірнісною борелівською мірою, яка не є ані внутрішньо регулярною ані зовнішньо регулярною.

ЛітератураРедагувати