Відкрито-замкнута множина

Відкрито-замкнута множина — підмножина топологічного простору, яка є в ньому водночас відкритою і замкнутою.

Приклади відкрито-замкнутих множин: (1) кожен з трьох великих графів, (2) сума будь-яких двох графіків, і (3) сума всіх трьох графіків

Приклади

• У кожному топологічному просторі X, порожня множина і весь простір X є відкрито-замкнутими множинами.
• Нехай простір X = [0,1] ∪ [2,3] буде оснащений топологією підпростору, успадкованою від звичайної топології дійсних чисел. Тоді простір X має такі відкрито-замкнуті підмножини: порожня множина, X , [0,1], [2,3].
• Розглянемо топологічний простір ${\mathbb {Q} }$ раціональних чисел з топологією підпростору, успадкованою від дійсної прямої. Тоді множина $A=\{r\in {\mathbb {Q} }:r^{2}<2\}$ є відкрито-замкнутою підмножиною ${\mathbb {Q} }$. У більш загальному випадку, якщо $I$ інтервал кінці якого є ірраціональними числами, то $I\cap {\mathbb {Q} }$ є відкрито-замкнутою підмножиною ${\mathbb {Q} }$ (хоча ця множина не є ні відкритою, ні замкнутою у просторі $\mathbb {R}$) ,
• Якщо $J\subseteq {\mathbb {R} }$ є інтервалом кінці якого є раціональними числами то $J\setminus {\mathbb {Q} }$ є відкрито-замкнутою підмножиною простору ірраціональних чисел ${\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }$ (але ця множина не є ні відкритою, ні замкнутою в ${\mathbb {R} }$).

Властивості

• Топологічний простір X є зв'язаним тоді і тільки тоді, коли єдиними відкрито-замкнутими підмножинами в X є порожня множина і весь простір X.
• Відкрито-замкнута підмножина є об'єднанням компонент зв'язності простору.
• Якщо у просторі всі компоненти зв'язності є відкритими то його підмножина є відкрито-замкнутою тоді і тільки тоді, коли вона є об'єднанням компонент зв'язності простору.
• Множина є відкрито-замкнутою тоді і тільки тоді, коли її межа є порожньою.
• Топологічний простір є дискретним тоді і тільки тоді, коли всі його підмножини є відкрито-замкнутими.
• Набір Clop(X) всіх відкрито-замкнутих підмножин простору $X$ утворює алгебру підмножин цього простору. Зокрема, структура $({\rm {Clop}}(X),\cup ,\cap ,{}^{\prime },\varnothing ,X)$ є булевою алгеброю.
• Теорема Стоуна про представлення булевих алгебр стверджує, що довільна булева алгебра ізоморфна з алгебрі відкрито-замкнутих підмножин деякого топологічного простору.

Джерела

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)