Білінійна форма

(Перенаправлено з Білінійні форми)

АБіліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа .

Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається .

Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.

Скалярний добуток на є прикладом білінійної форми.[1].

Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється гомоморфізмом модулів[en].

Якщо — поле комплексних чисел , тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є лінійно-спряженими[en].

Координатне представленняРедагувати

Нехай   -вимірний векторний простір з базисом  .

Матрицю   розмірності  , елементи якої визначаються як  , називають матрицею білінійної форми у базисі  .

  • Якщо   — матриця   представляє вектор   у цьому базисі, аналогічно   відповідає іншому вектору  , то
 

де  квадратна матриця з елементами  .

  • Якщо   деякий інший базис в  , де  невироджена матриця, то
 

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

 

Відображення у спряжений простірРедагувати

Будь-яка білінійна форма   на просторі   визначає пару лінійних відображень з простору   у спряжений до нього простір  . Визначимо   як

 
 

Часто ці відображення позначається як

 
 

де   вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).

Для скінченновимірного векторного простору  , якщо будь-яке з відображень   або   є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму   називають невиродженою[en]. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:

  для усіх   передбачає, що   i
  для усіх   передбачає, що  

Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення   є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар   є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з   на   є множенням на 2.

Якщо простір   — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір   з двічі спряженим простором  . Можна показати, що відображення   є транспонуванням[en] лінійного відображення   (якщо простір   нескінченновимірний, то   — транспонування  , обмежене образом простору   у просторі  ). Для заданого відображення   можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином

 

Лівий і правий радикали білінійної форми   є ядрами відображень   і  , відповідно;[2] вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.[3]

Якщо простір   — скінченновимірний, тоді ранг відображення   дорівнює рангу відображення  . Якщо це значення дорівнює  , тоді відображення   і   є лінійними ізоморфізмами з простору   у простір  . У цьому випадку білінійна форма   є невиродженою. За теоремою про ранг ядра[en] це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:

Означення: Відображення   є невиродженим, якщо з умови  , яка виконується для всіх  , випливає, що  .

Для будь-якого лінійного відображення   можна отримати білінійну форму   у просторі   як

 

Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення   є ізоморфізмом.

Якщо простір   є скінченновимірним[en] тоді, відносно деякого базису простору  , білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма   над полем цілих чисел.

Симетрична, кососиметрична та знакозмінна формиРедагувати

Визначаємо білінійну форму як

  • симетричну[en], якщо   для всіх  ;
  • знакозмінну[en], якщо   для всіх  ;
  • кососиметричну, якщо   для всіх  .
Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.
Доведення: Це можна побачити, розписавши  .

Якщо характеристика поля   не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо  , то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.

Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при  ).

Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення   рівні ( ), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком (( ). Якщо  , то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:

 

де   — відображення транспоноване до   (визначене вище).

 
  • Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо  :   або  .

Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна формаРедагувати

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

  • Маючи білінійну форму   (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
 
  • І навпаки, маючи квадратичну форму  , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
 

Закон інерціїРедагувати

Похідна квадратична формаРедагувати

Для будь-якої білінійної форми   існує асоційована квадратична форма  , визначена як  .

Якщо  , то квадратична форма   визначається симетричною частиною білінійної форми   і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.

Якщо   і  , то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.

Рефлексивність та ортогональністьРедагувати

Означення: Білінійна форма   називається рефлексивною, якщо із   випливає, що і   для всіх  .

Означення: Нехай   — рефлексивна білінійна форма. Вектори  ,   простору   є ортогональними відносно  , якщо  .

Білінійна форма   є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична.[4] За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор   з матричним представленням   знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням  , тоді і тільки тоді, коли  . Радикал — це завжди підпростір простору . Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця   невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.

Нехай   є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення[5] як

 

Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення   є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення   дорівнює  .

Різні просториРедагувати

Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле

 

Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору   у простір   і з простору   у простір  . Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму   називають досконалим утворюванням пар.

У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад,   вигляду   є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні  .

Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку".[6] Для їх визначення він використовує діагональні матриці  , що мають лише   або   для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є cимплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля   розлядаються поля дійсних чисел  , комплексних чисел   і кватерніонів  . Білінійна форма

 

називається дійсним симетричним випадком і позначається як  , де  . Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.[7]

Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.

Додатно визначений випадок   називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса,  простором Лоренца.

Якщо  , то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.

Частинний випадок   будемо називати розщепленим випадком.

Зв'язок з тензорним добуткомРедагувати

Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі   і лінійними відображеннями  . Якщо   є білінійною формою у просторі  , то відповідне лінійне відображення визначається як

 

В іншому напрямку, якщо   є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією   з білінійним відображенням  , яка відображає   у  .

Множина всіх лінійних відображень   є спряженим простором для  , тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору  , який (для скінченновимірного простору  ) канонічно ізоморфний простору  .

Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з   (друга симетрична степінь[en] простору  ), і знакозмінні білінійні форм як елементи з   (друга зовнішня степінь простору  ).

На нормованих векторних просторахРедагувати

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі   є обмеженою, якщо існує константа  , що для всіх  
 
Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі   є еліптичною, або коерцитивною[en], якщо існує константа  , така, що для всіх  
 

Узагальнення на модуліРедагувати

Нехай задано кільце   і правий  -модуль   та його спряжений модуль[en]  , відображення   називається білінійною формою, якщо

 
 
 

для всіх  , всіх   і всіх  .

Відображення   відоме як природне утворювання пар[en], яке також називають канонічною білінійною формою на  [8].

Лінійне відображення   індукує білінійну форму  , а лінійне відображення   індукує білінійну форму  .

І навпаки, білінійна форма   індукує  -лінійні відображення   і  . Тут   позначає подвійний спряжений модуль для модуля  .

Див. такожРедагувати

ЦитатиРедагувати

Список літературиРедагувати

Зовнішні посиланняРедагувати

ДжерелаРедагувати