Розшарування (теорія гомотопій)

У алгебричній топології, розділі математики, розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, кофібрацією) називається неперервне відображення топологічних просторів, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для кожного топологічного простору. Розшарування відіграють важливу роль у теорії гомотопій, підобласті алгебричної топології. Грубо кажучи, розшарування є парою просторів із відображенням одного на інше, де будь-яку гомотопію у просторі на який здійснюється відображення можна перенести вздовж даного відображення на вихідний простір відображення.

Пов'язаними є також поняття розшарування Серра і квазірозшарування.

ОзначенняРедагувати

Розшарування ГуревичаРедагувати

Розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення  , яке має властивість підняття гомотопії для всіх топологічних просторів  . Тобто для топологічного простору   і всіх неперервних відображень

 

і неперервних відображень

 ,

для яких діаграма

 

є комутативною, існує відображення

 

для якого   і  . Таке відображення називається накриваючою гомотопією.

Простір   називається загальним простором,   — базовим простором розшарування. Прообраз   точки   називається шаром над  .

Якщо базовий простір   є лінійно зв'язаним, то шари над різними точками   є гомотопно еквівалентними.

Розшарування СерраРедагувати

Розшарування Серра — неперервне відображення  , яке задовольняє властивість підняття гомотопії для всіх CW-Комплексів  .

Для цього достатнім (і, отже, еквівалентним) є факт виконання властивості підняття гомотопії для просторів   для  . Звідси також еквівалентною є вимога виконання властивості підняття гомотопії для всіх поліедрів — топологічних просторів гомеоморфних симпліціальним комплексам. Це твердження також часто використовується для означення розшарування Серра.

КвазірозшаруванняРедагувати

Квазірозшаруванням називається неперервне відображення  , для якого породжений гомоморфізм відносних гомотопічних груп

 

для усіх   і всіх   є ізоморфізмом.

Якщо базовий простір є лінійно зв'язаним, то всі шари квазірозшарування є слабко гомотопно еквівалентними.

Кожне розшарування Серра є квазірозшаруванням.

ПрикладиРедагувати

  • Нехай   — будь-який топологічний простір і
 
є проекцією на перший фактор. Тоді   є розшаруванням Гуревича.
  • Розшарування Гопфа історично було одним із перших нетривіальних прикладів розшарування.
  • Розшарування Гопфа є частковим випадком розшарувань над комплексними проективними просторами виду   із шарами   Розшарування Гопфа є частковим випадком для n=1 оскільки   є гомеоморфним сфері.
  • Ще одним узагальненням розшарування Гопфа, є розшарування над кватерніонним проективним простором   із шарами   тобто групою одиничних кватерніонів.
  • Розшарування Серра   одержується із дії групи поворотів SO(3) на сфері S2. Шари цього розшарування є рівними SO(2). Як топологічний простір SO(3) є гомеоморфним дійсному проективному простору RP3 і тому S3 є подвійним накриттям SO(3). Звідси випливає, що розшарування Гопфа є універсальним накриттям.
  • Попередній приклад можна узагальнити на розшарування   із шарами SO(n) для будь-якого невід'ємного цілого числа n (хоча шари не є одноточковими лише для n > 1) яке одержується із дії спеціальної ортогональної групи SO(n+1) на n-гіперсфері.
  • Кожне накриття топологічного простору є розшаруванням Гуревича.
  • Більш загально, кожне локально тривіальне розшарування є розшаруванням Серра. У цьому випадку шари для різних точок не тільки є гомотопно еквівалентними але і гомеоморфними.
  • Є приклади локально тривіальних розшарувань, які не є розшаруваннями Гуревича. Проте якщо базовий простір є паракомпактним то локально тривіальне розшарування є розшаруванням Гуревича.
  • Приклад розшарування Серра, що не є розшаруванням Гуревича можна одержати якщо взяти   і   Тоді відображення   є розшаруванням Серра але шари   і   не є гомотопно еквівалентними, тому воно не є розшаруванням Гуревича.
  • Приклад квазірозшарування, що не є розшаруванням Серра можна одержати якщо взяти   і   Тоді відображення   є квазірозшаруванням але не розшаруванням Серра.

Довга точна гомотопічна послідовністьРедагувати

Для розшарувань Серра (а також, більш загально, для квазірозшарувань) для   існує довга точна послідовність група гомотопії n

 .

Тут   і   є шаром.

Приклад: розшарування Хопфа   із шаром  . Як відомо,   для всіх  , з цього випливає   для всіх  , зокрема  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 
  • Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619. 
  • Spanier, Edwin (1966). Algebraic Topology. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. New York: McGraw-Hill. 
  • Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf
  • J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.
  • Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf