Експонента (функція)

Експонента — показникова функція $f(x)=\exp(x)=e^{x}$, де $e$ — число Ейлера $(e\approx 2,718)$.

Графік експоненти $y=e^{x}$ (синім).
Дотична (червоним) в нулі у функції $e^{x}$ нахилена на ${\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })$.
Поруч для прикладу показано $y=2^{x}$ (точками) і $y=4^{x}$ (пунктиром)

Визначення

Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора:

$e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

або через границю:

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

Тут $x$ — будь-яке комплексне число.

Властивості

• $(e^{x})'=e^{x}$, а зокрема, експонента — єдине рішення диференціального рівняння $y'=y$ з початковими даними $y(0)=1$. Крім того, через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь.
• Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля.
• Експонента — опукла функція.
• Обернена функція до неї — натуральний логарифм $(\ln x)$.
• Фур'є-образ експоненти не існує.
• Однак перетворення Лапласа існує.
• Похідна в нулі дорівнює $1$, тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом $45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}$.
• Основна функціональна властивість експоненти, як і всякої показникової функції:

  $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

  • Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює $0$, або має вигляд $\exp(cx)$, де $c$ — деяка константа.

• $e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x$, де $\operatorname {sh}$ і $\operatorname {ch}$ — гіперболічні синус і косинус.

Комплексна експонента

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що задається співвідношенням $f(z)=e^{z}$, де $z$ є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти $f(x)=e^{x}$ речовинного змінного $x$:

Визначимо формальний вираз

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$.

Визначений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції $e^{z}$, тобто показати, що $e^{z}$ розкладається в деякий збіжний ряд, що збігається до даної функції . Покажемо це:

$f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Збіжність цього ряду легко доводиться:

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}$.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі усюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції $f(z)=e^{z}$. Згідно теореми єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція $e^{z}$ всюди визначена і аналітична.

Властивості

• Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. В жодній точці вона не звертається в нуль.
• $e^{z}$ — періодична функція з основним періодом 2πi: $e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}$. У силу періодичності комплексна експонента безкінечнолистна. В якості її області однолистності можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою $2\pi$.
• $e^{z}$ — єдина з точністю до постійного множника функція, похідна (а відповідно, і первісна) якої збігається з вихідною функцією.
• Алгебраїчно експонента від комплексного аргументу $z=x+iy$ може бути визначена наступним чином:

  $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ (формула Ейлера)

  • Зокрема, має місце (тотожність Ейлера),

    $e^{i\pi }+1=0$

Варіації та узагальнення

Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри. У конкретному випадку потрібен також доказ того, що зазначені межі існують.

Матрична експонента

Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю у відповідний ряд:

$\exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.$

Визначений таким чином ряд збігається для будь-якого оператора $A$ з обмеженою нормою, оскільки мажорується поруч для експоненти норми $A:$ $\exp \|A\|.$ Отже, експонента матриці $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ завжди визначена і сама є матрицею.

За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами: рівняння ${\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}$ з початковою умовою $x(0)=x_{0}$ має своїм рішенням $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h-експонента

Введення $h$-експоненти засноване на другій чудовій границі:

$e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.$

При $h\to 0$ виходить звичайна експонента.

Обернена функція

Обернена функція до експоненційної функції — натуральний логарифм. Позначається $\ln x$:

$\ln x=\log _{e}x.$

Див. також

• Експонентне зростання
• Показникова функція
• Список інтегралів від експоненціальних функцій

Література

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Посилання

• «Експонента і число е: просто і зрозуміло [Архівовано 25 вересня 2015 у Wayback Machine.]» — переклад статті An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained [Архівовано 23 червня 2007 у Wayback Machine.](англ.)