Дотичний простір Зариського

Дотичний простір Зариського — загальне означення в алгебраїчній геометрії, що дозволяє узагальнити дотичний простір в точці алгебраїчного многовида на більш абстрактні об'єкти, зокрема квазіпроективні многовиди, абстрактні алгебричні многовиди і схеми. Дотичні простори Зариського визначені на довільних локальних кільцях і для їх означення використовуються не методи диференціальної геометрії, а тільки методи абстрактної, і, в більш конкретних ситуаціях, лінійної алгебри.

Дотичні простори афіниих многовидів і мотивація загального означенняРедагувати

Дотичний простір в точці x афінного многовида X можна означити як сукупність прямих, що проходять через x і є дотичними до   На афінному просторі   можна ввести координати так, що точка x буде на початку координат. Тоді рівняння прямих, що проходять через x = 0 можна записати як   де K алгебрично замкнуте поле над яким визначені всі простори і многовиди, а   — деяка точка афінного простору, яка визначає дану пряму.

Нехай X заданий системою рівнянь   де многочлени у цих рівняннях породжують ідеал многовида X.

Множина перетинів прямої L з многовидом X визначиться тоді рівняннями   Значення параметра t, що визначають точки перетину прямої з многовидом є коренями найбільшого спільного дільника   як многочленів від t. Згідно з означень t = 0 є одним з коренів.

Пряма L називається дотичною до многовида X, якщо кратність кореня t = 0 у попередніх рівняннях є більшою 1. Множина всіх точок   що належать деяким дотичним прямим до точки x називається дотичним простором до многовида X у точці x.

Дотичний простір можна описати також через систему лінійних рівнянь. Для цього треба ввести оператор  , який є оператором диференціювання, що кожному многочлену від змінних   присвоює лінійну частину розкладу в ряд Тейлора в точці   Тоді з означень дотичного простору в точці x, легко отримати, що цей простір є множиною точок   що задовольняють систему рівнянь:

 

Для довільного многочлена   можна вважати лінійною формою на  . Окрім того, якщо многочлен   належить ідеалу, що задає многовид X, то, як неважко перевірити, значення   на всіх точках дотичного простору до многовида X у точці x є рівним нулю. Тому   задає відображення з кільця   (координатного кільця) многовида X у множину всіх лінійних форм на дотичному просторі у точці x. Окрім того це відображення можна обмежити на максимальний ідеал   — множину всіх елементів  , що не рівні 0 в точці x. Це відображення буде сюр'єктивним і його ядро складатиметься з елементів, запис яких в ряд Тейлора не матиме лінійних доданків. Всі такі елементи, очевидно, містяться в ідеалі   і тому   визначає ізоморфізм між   і множиною лінійних форм на дотичному просторі (тобто кодотичним простором). Це дозволяє ввести поняття дотичного і кодотичного просторів інваріантно лише в алгебричних термінах за допомогою простору  .

Окрім того якщо   — локалізація кільця   по максимальному ідеалу   і   — максимальний ідеал кільця R, то узагальнивши оператор диференціювання як   теж отримуємо ізоморфізм між   і кодотичним простором. Відповідно кодотичний простір можна ідентифікувати з   і узагальнити це означення для більш широкого класу об'єктів. Саме такі означення дотичного простору і дав Оскар Зариський.

ОзначенняРедагувати

Кодотичний простір локального кільця   з максимальним ідеалом m за означенням є векторним простором

 

де m2 — добуток ідеалів. Кодотичний простір є векторним простором над полем  . Векторний простір, двоїстий до нього, називається дотичним простором R. [1]

Дотичні і кодотичні простори кільця   позначаються   і   відповідно.

Морфізми дотичних і кодотичних просторівРедагувати

Якщо   — локальні нетерові кільця з максимальними ідеалами   і   — локальний гомоморфізм кілець (тобто  ), то цей гомоморфізм породжує гомоморфізм полів   і гомоморфізм кодотичних просторів   Якщо також   є ізоморфізмом полів, то також він породжує гомоморфізм дотичних просторів  

Зокрема гомоморфізм дотичних просторів є визначеним, якщо   — локальні кільця в точках алгебричних многовидів і гомоморфізм між ними породжується морфізмом   відповідних алгебричних многовидів, що переводить одну точку в іншу. Тоді морфізми дотичних і кодотичних просторів в точці p також позначаються   і  

Означення за допомогою диференціваньРедагувати

Якщо кільце   містить підполе представників поля  , тобто підполе   таке що  , то ототожнюючи   і   можна записати, що  , тобто кожен елемент   може бути однозначно записаним як  

Якщо позначити   клас елемента   у кодотичному просторі   то відображення   є диференціальним оператором, тобто задовольняє умови   і  

Оскільки елементи дотичного простору можна інтерпретувати як лінійні форми на кодотичному просторі то для   відображення  є диференціюванням з кільця   в поле  . До того ж кожне диференціювання з кільця   в поле   породжується деяким елементом дотичного простору і до того ж тільки одним. Таким чином елементи дтичного простору можна ідентифікувати з диференціюваннями з кільця   в поле  , тобто для цього випадку дати еквівалентне означення дотичного простору:

Якщо кільце   містить підполе представників поля   то дотичний простір за означенням це множина усіх диференціювань з кільця   в поле  .

Дотичний простір до схеми в точціРедагувати

Дотичний простір   і кодотичний простір   до схеми x в точці P це (ко)дотичний простір локального кільця  . Завдяки функторіальності Spec, природне відображення факторизації   індукує гомоморфізм  , де x = Spec(R), P — точка Y = Spec(R/I). Цей гомоморфізм часто використовують для вкладення   в   [2] (наприклад , дотичний простір многовида, вкладеного в афінний простір, природним чином вкладається в дотичний простір афінного простору). Так як морфізм полів є ін'єктивним, сюр'єкція полів часток, індукована g, є ізоморфізмом. Таким чином, g індукує морфізм k дотичних просторів, оскільки

 
 
 
 

Так як k є сюр'єктивним (є гомоморфізмом факторизації), то двоїсте лінійне відображення   ін'єкцією (є вкладенням).

Аналітичний випадокРедагувати

Якщо V — підмноговид n-вимірного векторного простору, заданий ідеалом I (ідеалом функцій, рівних нулю на цьому многовиді), кільцю R відповідає кільце Fn/I, де Fn — кільце ростків гладких/аналітичних/голоморфних функцій на векторному просторі, I — ростки функцій з ідеалу. Тоді дотичний простір Зариського в точці x

 

де   — ідеал функцій відповідного типу, рівних нулю в точці x.

ВластивостіРедагувати

Якщо Rнетерове локальне кільце, розмірність дотичного простору не менша розмірності R:

 

R називається регулярним кільцем, якщо виконується рівність. Якщо локальне кільце многовида V в точці x є регулярним, кажуть, що x — регулярна точка многовида. В іншому випадку x називається особливою точкою.

Існує інтерпретація дотичного простору за допомогою гомоморфізмів в кільце дуальних чисел   Мовою схем, морфізм з Spec k[t]/t2 в схему x над k відповідає вибору раціональної точки x ∈ X(k) (точки з координатами з поля k) і елемента дотичного простору в точці x. [3] Таким чином, ці морфізми має сенс називати дотичними векторами .

ПриміткиРедагувати

  1. Eisenbud, 1998, I.2.2, pg. 26
  2. Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 Spring 2011 Lecture 5
  3. Hartshorne, 1977, Exercise II 2.8

ЛітератураРедагувати

  • David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5.
  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
  • Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — т.1-2, Москва: Наука, 1988. (рос.)

ПосиланняРедагувати