Тричі відсічений ікосаедр

Тричі відсічений ікосаедр (англ. Tridiminished icosahedron) є одним із багатогранників Джонсона (J₆₃ або M₇ (за Залгаллером).

Тричі відсічений ікосаедр
Тип	Многогранник Джонсона J63
Граней	2+3=5 правильних трикутників 3 правильні п'ятикутники
Ребер	15 ребер
Вершин	9 вершин: {3+3} вершини (3-го степеня) + 3 (4-го)
χ	$\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2$
Конфігурація вершин	2x3(3.52) 3(33.5)
Група симетрії	C3v, [3], (*33), порядок 6 (Циклічна симетрія 3-піраміди)
Дуальний многогранник	Три-тригонально відсічений ікосаедр (Tri-tridiminished icosahedron)
Опуклий, рівносторонній, правильногранний
Розгортка

Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям Нормана Джонсона, який першим перелічив їх в 1966 р.

Тричі відсічений ікосаедр складений з 8 граней (а тому є неправильним октаедром): 2+3 = 5 правильних трикутників і 3 правильних п'ятикутників.

Кожна п'ятикутна грань оточена двома п'ятикутними та трьома трикутними гранями; одна трикутна грань оточена трьома п'ятикутними гранями; ще одна трикутна грань оточена трьома трикутними гранями; три трикутні грані оточені двома п'ятикутними та однією трикутною гранню.

Має 15 ребер однакової довжини.

3+6=9 ребер розташовані між п'ятикутною та трикутною гранями, 3 ребра розташовані між двома п'ятикутними гранями, 3 ребра — між двома трикутними гранями.

У тричі відсіченого ікосаедра 9 вершин: 3+3=6 вершини оточені двома п'ятикутними і однією трикутною гранями; 3 вершини оточені однією п'ятикутною та трьома трикутними гранями.

Тричі відсічений ікосаедр має одну вісь поворотної симетрії 3-го порядку, що проходить через центри двох паралельних трикутних граней; а також три площини дзеркальної симетрії, які проходять через вісь симетрії та вершини трикутних граней.

Центру симетрії не має.

Тричі відсічений ікосаедр є одним з елементарних багатогранників Джонсона.^{:Стор.174}

Опуклий багатогранник з правильними гранями є елементарним, якщо його неможливо розділити площиною на два менших опуклих багатогранника з правильними гранями.

Тобто цей багатогранник не утворений шляхом поєднання інших елементарних багатогранників між собою, чи з призмами, антипризмами, або нарощенням на гранях тіл Платона чи Архімеда інших багатогранників.

При відсутності умовних ребер (окрім призм та антипризм) всього існує 28 елементарних багатогранників з правильними гранями.^:стор.21

Назва

Цей багатогранник утворений з правильного ікосаедра шляхом видалення трьох несусідніх його вершин разом з ребрами та гранями, що їх оточують (відсікаються три п'ятикутні піраміди). На їх місці створюються п'ятикутні грані. Звідси й назва —тричі відсічений ікосаедр.

Формули

У всіх формулах нижче: $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180339887$ — відношення «золотого перетину».

Діагоналі

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ${\binom {B}{2}}-P$, де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для тричі відсіченого ікосаедра:

${\binom {9}{2}}-15={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {8}{1}}-15=36-15=21$ діагональ (15 граневих та 6 просторових).

Діагоналі тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра $a$
	Граневі діагоналі	$AB={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a$	≈ 1.618033988$\cdot a$
	Просторові діагоналі	$AC={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a$	≈ 1.618033988$\cdot a$
		$AD={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot a$	≈ 1.902113032$\cdot a$

Метричні характеристики

Описана сфера тричі відсіченого ікосаедра

Напіввписана сфера тричі відсіченого ікосаедра

Для тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра $a$:
Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини)	$R={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot a={\frac {\sqrt {\varphi +2}}{2}}\cdot a$	≈ 0.951056516$\cdot a$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)	$\rho ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\cdot a={\frac {\varphi }{2}}\cdot a$	≈ 1.538841769$\cdot a$
Вписаної сфери тричі відсічений ікосаедр не має
Висота H (Відстань між паралельними трикутними гранями)	$H={\frac {{\sqrt {3}}\cdot (3+{\sqrt {5}})}{6}}\cdot a={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot (\varphi +1)\cdot a$	≈ 1.511522628$\cdot a$
Площа поверхні	$S=\left(5{\sqrt {3}}+3\cdot {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)\cdot a^{2}$	≈ 7.326495711$\cdot a^{2}$
Об'єм	$V={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{24}}\cdot a^{3}={\frac {4+7\varphi }{12}}\cdot a^{3}$	≈ 1.277186493$\cdot a^{3}$

Радіуси описаної та напіввписаної сфер мають таке ж значення як і в правильному ікосаедрі з тою ж довжиною ребра, а їх центри лежать на осі симетрії багатогранника посередині між паралельними трикутними гранями.

Центр масс тричі відсіченого ікосаедра лежить на його осі симетрії на відстані$\left({\frac {{\sqrt {3}}\cdot (3+{\sqrt {5}})}{12}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {3(7-3{\sqrt {5}})}{10}}}\right)\cdot a={\frac {15{\sqrt {3}}+19{\sqrt {15}}}{120}}\cdot a\approx 0.829728714\cdot a$ від нижньої основи (трикутна грань, що оточена трьома п'ятикутними).

Кути

Плоскі кути граней при вершині: 60°, 108°.

Кути багатогранника
Двогранний кут між гранями {3} та {3}	$\alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)=2\arctan \left(\varphi +1\right)$	≈ 2.411864997 rad ≈ 138°11′ 22.86638′′
Двогранний кут між гранями {3} та {5}	$\beta =\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)={\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {2-\varphi }{2}}\right)$	≈ 1.7595068 rad ≈ 100°48′44.34107′′
Двогранний кут між гранями {5} та {5}	$\gamma =\arccos \left({\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{\varphi }}\right)$	≈ 1.1071487 rad ≈ 63°26′ 5.81576′′
Тілесний кут при вершині 3.3.3.5	$\Omega _{1}=2\pi -5\cdot \arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)-4\cdot \arctan \left({\frac {1}{2}}\left(3{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-9\right)\right)$	$\Omega _{1}$≈ 2.0595584 ср
Тілесний кут при вершині 3.5.5	$\Omega _{2}=4\arctan \left({\frac {1}{2}}\left(9-5{\sqrt {3}}-5{\sqrt {5}}+3{\sqrt {15}}\right)\right)$	$\Omega _{2}$ ≈ 1.4845698 ср
Сферичність	$\Psi ={\frac {2\cdot {\sqrt[{3}]{5\pi \cdot (47+21{\sqrt {5}})}}}{5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}}$	$\Psi \thickapprox 0.7770054$

Координати вершин

Координати вершин тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра a = 1:

• $\left({\frac {\sqrt {3}}{3}},0,{\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}\right)$, $\left(-{\frac {\sqrt {3}}{6}},\pm {\frac {1}{2}},{\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}\right)$ — ці координати задають три вершини верхньої трикутної грані, яка оточена трикутниками.
• $\left(-{\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{6}},0,{\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{12}}\right)$, $\left({\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},{\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{12}}\right)$ — ці координати задають три вершини 3.3.3.5, що лежать між паралельними трикутними гранями.
• $\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0,-{\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}\right)$, $\left({\frac {\sqrt {3}}{6}},\pm {\frac {1}{2}},-{\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}\right)$ — ці координати задають три вершини нижньої трикутної грані, яка оточена п'ятикутниками.

При цьому вісь симетрії тричі відсіченого ікосаедра збігається з віссю координат Oz, площина Оxz збігається з однією з плошин симетрії багатогранника, а початок координат збігається з центром описаної та напіввписаної сфер.

Вершини багатогранника лежать в трьох паралельних площинах, і в кожній з них формують правильний трикутник. Відстані між цими площинами:

$h_{1}=\left({\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}-{\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{12}}\right)\cdot a={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot a\approx 0.577350269\cdot a$

$h_{2}=\left({\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{12}}+{\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}\right)\cdot a={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{6}}\cdot a\approx 0.934172359\cdot a$

Двоїстий багатогранник

Тричі відсічений ікосаедр не має канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників співпадають).

Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням симетрії початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкового тричі відсіченого ікосаедра можуть різнитися.

Двоїстий до тричі відсіченого ікосаедра, три-тригонально відсічений ікосаедр (Tri-tridiminished icosahedron, dJ63) ,

має 9 граней: 3 дельтоїди, 3+3=6 рівнобедрених трикутників; 15 ребер, 8 вершин.

Двоїстий багатогранник	Поєднання тричі відсіченого ікосаедра та його двоїстого	Розгортка двоїстого

Пов'язані багатогранники

До трикутної грані тричі відсіченого ікосаедра (яка оточена п'ятикутниками) можна приєднати правильний тетраедр. При цьому утвориться правильногранний багатогранник Джонсона J₆₄ — нарощений тричі відсічений ікосаедр.

Тричі відсічений ікосаедр є вершинною фігурою однорідного політопа 4-вимірного простору — кирпатого 24-комірника s{3, 4, 3} ((англ.) snub 24-cell). ^{:Стор.174}

Література

• Norman W. Johnson. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — С. 169—200. — ISSN 0008-414X. — DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
• Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями. — М.—Л. : Наука, 1967. — Т. 2. — 221 (_rusian) с. — (Зап. научн. сем. ЛОМИ) (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Tridiminished Icosahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Tridiminished icosahedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
• McCooey, David.Tridiminished Icosahedron (англ.) на сайті dmccooey.com.
• Klitzing, Richard. «teddi».
• Quickfur. «The Tridiminished Icosahedron»