Відкрити головне меню

ФормулюванняРедагувати

Нехай   — простір з мірою і міра    -скінченна. Тоді якщо міра   абсолютно неперервна відносно    , то існує вимірна функція  , така що

 

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Функція  , існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри   щодо міри  . Пишуть:
     

ВластивостіРедагувати

  • Нехай   —  -скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою  . Тоді якщо   і  , то
 
  • Нехай  . Тоді
    — майже всюди.
  • Нехай   і   — вимірна функція, інтегрована щодо міри  , то
 
  • Нехай   і  . Тоді
 
  • Нехай   — заряд. Тоді
 

Варіації і узагальненняРедагувати

Аналогічна теорема справедлива зарядів, тобто знакозмінних мір.

Припущення σ-скінченностіРедагувати

У випадку якщо міра   не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру  , що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай   — міра Лебега.   — абсолютно неперервна відносно  , оскільки єдина множина A нульової міри   — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

 

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

 

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати