Теорема Радона — Нікодима

Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.

Формулювання

Нехай $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ — простір з мірою і міра $\mu$ є $\sigma$-скінченною. Тоді якщо міра $\nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ є абсолютно неперервною відносно $\mu$ $(\nu \ll \mu )$, то існує вимірна функція $f\colon X\to \mathbb {R}$, така що

$\nu (A)=\int \limits _{A}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F}},$

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Якщо $g$ є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то $f=g$ $\mu$-майже всюди.

Для зарядів і комплексних мір

Нехай $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ — простір з мірою і міра $\mu$ є $\sigma$-скінченною і $\nu$ є σ-адитивним зарядом або комплексною мірою і $\nu \ll \mu ,$ тобто $\nu$ є абсолютно неперервним щодо $\mu ,$ то існує $\mu$-вимірна дійсно- чи комплекснозначна функція $f$ на $X$ така, що для кожної вимірної множини $A,$

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu .$

Якщо $g$ є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то $f=g$ $\mu$-майже всюди.

Пов'язані визначення

• Функція $f$, існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри $\nu$ щодо міри $\mu$. Пишуть:

  $f={\frac {d\nu }{d\mu }}.$

  • Якщо $(X,\;{\mathcal {F}})=\left(\mathbb {R} ^{k},\;{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{k}\right)\right)$ — $k$-вимірний векторний простір з борелівською σ-алгеброю $\nu =\mathbb {P} ^{X}$ — розподіл деякої випадкової величини $X$, а $\mu =m$ — міра Лебега на $\mathbb {R} ^{k}$, то похідна Радона — Нікодима міри $\mathbb {P} ^{X}$ щодо міри $m$ називається щільністю розподілу випадкової величини $X$.

Властивості

• Нехай $\lambda ,\;\mu ,\;\nu$ — $\sigma$-скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою $(X,\;{\mathcal {F}})$. Тоді якщо $\mu \ll \lambda$ і $\nu \ll \lambda$, то

${\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.$

• Нехай $\nu \ll \mu \ll \lambda$. Тоді

${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}$ $\lambda$ — майже всюди.

• Нехай $\mu \ll \lambda$ і $g\colon X\to \mathbb {R}$ — вимірна функція, інтегрована щодо міри $\mu$, то

$\int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).$

• Нехай $\mu \ll \nu$ і $\nu \ll \mu$. Тоді

${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.$

• Нехай $\nu$ — заряд. Тоді

${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$

Припущення σ-скінченності

У випадку якщо міра $\mu$ не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру $\mu$, що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай $\nu$ — міра Лебега. $\nu$ — абсолютно неперервна відносно $\mu$, оскільки єдина множина A нульової міри $\mu$ — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

$\nu (A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu$

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

$0=f(a)\,$

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Доведення

Нижче подані два доведення перше із яких використовує стандартні методи теорії міри, зокрема властивості (σ-адитивних) зарядів. Ключову роль у ньому відіграє теорема Гана про розклад мір і розклад Жордана. Друге використовує той факт, що класи еквівалентності інтегровних у квадраті функцій утворюють гільбертів простір і властивості гільбертових просторів, зокрема теорему Ріса.

Доведення методами теорії міри

Ідея доведення полягає у тому, що спершу для скінченних мір μ і ν розглядаються функції  f  для яких f dμ ≤ dν. Теорема доводиться із використанням супремуму таких функцій і теореми Леві промонотонну збіжність. Після доведення твердження для скінченних мір воно легко узагальнюється на σ-скінченні міри, заряди і комплексні міри.

Доведення для скінченних мір

Нехай μ і ν є скінченними невід'ємними мірами і F позначає множину вимірних функцій f  : X → [0, ∞] для яких:

$\forall A\in \Sigma :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)$

F не є порожньою оскільки містить принаймні нульову функцію. Нехай f₁,  f₂ ∈ F і для вимірної множини A позначимо підмножини:

${\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\},\end{aligned}}$

Тоді

$\int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A),$

і тому також max{ f ₁,  f ₂} ∈ F.

Якщо f_n є послідовністю функцій F для якої

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .$

то замінюючи  f_n  на максимум перших n функцій, можна припустити, що послідовність  f_n  є зростаючою. Нехай g  : X → [0, ∞] є поточковою границею послідовності:

$g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).$

Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

$\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)$

для кожної A ∈ Σ і тому g ∈ F. Також за побудовою

$\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .$

Оскільки g ∈ F, то функція множин задана як

$\nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu$

є невід'ємною мірою на Σ. Необхідно довести, що ν₀ = 0.

Якщо припустити, що ν₀ ≠ 0, то оскільки μ є скінченною мірою, існує ε > 0 для якого ν₀(X) > ε μ(X). Розглянемо заряд ν₀ − ε μ і його додатну множину P ∈ Σ із розкладу Гана.

Тоді для довільної A ∈ Σ також ν₀(A ∩ P) ≥ ε μ(A ∩ P), і тому

${\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}$

де 1_P є характеристичною функцією множини P. Також μ(P) > 0 адже якщо μ(P) = 0, тоді із того, що ν є абсолютно неперервним щодо μ і ν₀(P) ≤ ν(P) = 0 випливає, що ν₀(P) = 0 і

$\nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,$ де N ∈ Σ є від'ємною множиною із розкладу Гана.

Остання нерівність суперечить тому, що ν₀(X) > εμ(X).

Оскільки також

$\int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty ,$

то g + ε 1_P ∈ F і

$\int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .$

Ця нерівність є неможливою і тому припущення, що ν₀ ≠ 0 є хибним і ν₀ = 0.

Оскільки g є μ-інтегровною, то множина {x ∈ X : g(x) = ∞} має μ-міру рівну нулю. Тому функція  f  визначена як

$f(x)={\begin{cases}g(x)&g(x)<\infty \\0&g(x)=\infty ,\end{cases}}$

є дійснозначною функцією, що задовольняє умови теореми Радона — Нікодима.

Нехай  f, g : X → [0, ∞) є двома вимірними функціями для яких

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu$

для кожної вимірної множини A. Тоді g − f  є μ-інтегровною і

$\int _{A}(g-f)\,d\mu =0.$

Зокрема для A = {x ∈ X : f(x) > g(x)}, або{x ∈ X : f(x) < g(x)}. Звідси випливає, що

$\int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,$

і тому (g − f )⁺ = 0 μ-майже сюди; таке ж твердження є вірним і для (g − f )⁻ і тому f = g μ-майже всюди.

Доведення для σ-скінченних мір

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {B_n}_n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Для кожного числа n із доведеного скінченного випадку існує Σ-вимірна функція  f_n  : B_n → [0, ∞) для якої

$\nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu$

для кожної Σ-вимірної підмножини A із B_n. Сума ${\textstyle \left(\sum _{n}f_{n}1_{B_{n}}\right):=f}$ тоді є необхідною функцією для якої ${\textstyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu }$.

Оскільки кожна із функцій f_n є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль, то і f є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль.

Доведення для зарядів і комплексних мір

Якщо ν є σ-скінченним σ-адитивним зарядом, то для нього існує розклад Жордана ν = ν⁺ − ν⁻ де одна із мір є скінченною. Застосовуючи теорему Радона — Нікодима до цих мір одержуються функції g, h : X → [0, ∞), принаймні одна з яких є μ-інтегровною. Функція f = g − h задовольняє умови теореми, зокрема і єдиність з точністю до множин μ-міри нуль.

Якщо ν є комплексною мірою то її можна записати як ν = ν₁ + iν₂, де ν₁ і ν₂ є скінченними σ-адитивними зарядами. Тому із попереднього одержуються функції, g, h : X → [0, ∞), які задовольняють твердження теореми для зарядів ν₁ і ν₂, відповідно. Функція f = g + ih тоді задовольняє твердження теореми Радона — Нікодима для комплексних мір.

Доведення методами функціонального аналізу

Тут доводиться випадок скінченних невід'ємних мір. Перехід на інші випадки аналогічний попередньому доведенню.

Нехай $\varphi =\mu +\nu$ є сумою мір. Тоді для будь-якої невід'ємної вимірної функції $h$

$\int _{X}h\,d\varphi =\int _{X}h\,d\mu +\int _{X}h\,d\nu .$

Простір $L^{2}(\varphi )$ всіх інтегровних у квадраті функцій щодо міри $\varphi$ із відношенням еквівалентності яке ідентифікує функції які набувають різних значень лише на множині $\varphi$-міри нуль є гільбертовим простором. Для функції $f\in L^{2}(\varphi )$ тоді згідно нерівності Коші — Буняковського для гільбертових просторів:

$\left|\int _{X}h\,d\nu \right|\leqslant \int _{X}|h|\,d\nu \leqslant \int _{X}|h|\,d\varphi \leqslant \left(\int _{X}|h|^{2}\,d\varphi \right)^{1 \over 2}(\varphi (X))^{1 \over 2}.$

Оскільки $\varphi (X)$ є скінченним, то $I_{\nu }(h)=\int _{X}hd\nu$ є обмеженим лінійним функціоналом на просторі $L^{2}(\varphi ).$ Згідно теореми Ріса, існує такий елемент $g\in L^{2}(\varphi )$, що лінійний функціонал є рівний скалярному добутку на цей елемент, тобто

$\int _{X}hd\nu =\int _{X}hgd\varphi .$

Якщо для довільної вимірної множини $E$ зокрема взяти за $h$ характеристичну функцію множини $E$, то із того, що $\nu \leqslant \varphi$ випливає нерівність

$0\leqslant {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}gd\varphi \leqslant 1$

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх вимірних множин $E$, то також і $0\leqslant g\leqslant 1$ майже скрізь на $X$ щодо міри $\varphi$. Дійсно, якщо б це було не так, то оскільки множина $\mathbb {R} \setminus [0,1]$ є об'єднанням зліченної кількості відкритих інтервалів $(a,b),\ \ 1<a<b$ і $(d,e),\ \ d<e<0$ то хоча б для одного такого інтервалу $\varphi (g^{-1}(a,b))>0$ або $\varphi (g^{-1}(d,e))>0.$ Якщо це справедливо для першого типу інтервалів, то позначивши $E=g^{-1}(a,b)$ тоді

${\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}gd\varphi \geqslant {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}ad\varphi =a>1,$

що суперечить нерівностям вище для довільного $E$. Аналогічно для другого типу інтервалів позначивши $E=g^{-1}(d,e)$ тоді

${\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}gd\varphi \leqslant {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}e\ d\varphi =e<0,$

що, знову ж, суперечить згаданим нерівностям.

Можна змінити функцію $g$ на множині $\varphi$-міри нуль щоб нерівності $0\leqslant g\leqslant 1$ виконувалися на всьому просторі $X$. Із попередніх рівностей випливає, що для всіх $h\in L^{2}(\varphi )$

$\int _{X}h(1-g)d\nu =\int _{X}hgd\mu .$

Якщо позначити $A=\{x\ |\ 0\leqslant g(x)<0\}$ і $B=\{x\ |\ g(x)=1\}$, то із останньої рівності для $h=\mathbf {1} _{B}$ випливає, що $\mu (B)=0$ і відповідно $\nu (B)=0$.

Із обмеженості функції $g$ випливає, що $(1+g+g^{2}+\ldots +g^{n})\mathbf {1} _{E}\in L^{2}(\varphi )$. Підставивши цю функцію у рівність інтегралів одержується рівність

$\int _{E}(1-g^{n+1})d\nu =\int _{E}g(1+g+\ldots +g^{n})d\mu .$

Для усіх точок із $A$ функції $1-g^{n+1}$ монотонно зростають до одиничної функції, а на множині $B$ усі функції $1-g^{n+1}$ є рівними нулю. Звідси із використанням теореми Леві про монотонну збіжність

$\lim _{n\to \infty }\int _{E}(1-g^{n+1})d\nu =\lim _{n\to \infty }\int _{A\cap E}(1-g^{n+1})d\nu =\nu (A\cap E)=\nu (E)$.

Послідовність функцій $g(1+g+\ldots +g^{n})$ поточково монотонно прямує до невід'ємної вимірної функції $f$ і з використанням теореми про монотонну збіжність $\lim _{n\to \infty }\int _{E}g(1+g+\ldots +g^{n})d\mu =\int _{E}fd\mu$ і остаточно для всіх вимірних множин $E$

$\nu (E)=\int _{E}fd\mu .$

Якщо у цій формулі взяти всю множину $X$ то одержується єдиним чином визначений елемент $h\in L^{1}(\varphi )$ який задовольняє умови теореми. Всі функції, що задовольняють умови теореми відповідно належать вказаному класу еквівалентності і між собою відрізняються лише на множині μ-міри нуль.

Доведення теореми Лебега

Позначення і схему цього доведення можна використати для доведення теореми Лебега про розклад міри. У вказаному доведенні можна розглядати міру $\varphi$, функцію $g$, множини $A$ і $B$ навіть якщо міра $\nu$ не є абсолютно неперервною щодо $\mu$. У цьому випадку також $\mu (B)=0$ але звідси не обов'язково випливає, що $\nu (B)=0$.

Тоді можна розглянути міри $\nu _{1}(E)=\nu (E\cap B)$ і $\nu _{2}(E)=\nu (E\cap B)$. Міри $\nu _{1}$ і $\mu$ є сингулярними, а для $\nu _{2}$ можна як і у доведенні знайти функцію для якої $\nu _{2}(E)=\int _{E}fd\mu .$ Зокрема $\nu _{2}$ є абсолютно неперервною щодо $\mu$ і відповідно існує розклад $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$ міри $\nu$ на суму двох мір одна з яких є сингулярною, а інша — абсолютно неперервною щодо міри $\mu$, що і є твердженням теореми Лебега для скінченних мір.

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {B_n}_n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Тоді обмеження μ і ν на кожну підмножину B_n є скінченними мірами і на цій підмножині можна ввести міри ν₁ і ν₂. Разом із зліченної адитивності ці міри визначаються на всьому просторі і перша з них буде сингулярною, а друга — абсолютно неперервною щодо міри μ.

Див. також

• Абсолютна неперервність
• Відстань Кульбака — Лейблера
• Заряд (теорія міри)
• Теорема Гана про розклад
• Теорема Лебега про розклад міри

Джерела

• Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
• Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1