Теорема Гана про розклад

У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості зарядів. Названа на честь австрійського математика Ганса Гана. У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри.

Твердження теореми ред.

Для будь-якого вимірного простору   і будь-якого сигма-адитивного заряду  , визначеного на  -алгебрі   існують  -вимірні множини   і   для яких:

  1.   і  .
  2. Для кожної множини   такого, якщо  , то  , тобто на всіх вимірних підмножинах множини   значення заряду   є не меншим 0 (множини   із такою властивістю називаються додатними).
  3. Для кожної множини   такого, якщо  , то  , тобто на всіх вимірних підмножинах множини   значення заряду   є не більшим 0 (множини   із такою властивістю називаються від'ємними).

Більше того, цей розклад є майже єдиним у сенсі, що для будь-якої іншої пари   множин із   для яких виконуються ці три умови, симетричні різниці   і   є мають міру нуль разом із усіма їх підмножинами.

Пара   називається розкладом Гана заряду  .

Доведення ред.

Можна вважати, що   не приймає значення   (в іншому випадку можна розглядати міру  ).

Твердження про від'ємні множини ред.

Нехай   і  . Тоді існує від'ємна множина   ( тобто множина  , така що для кожної  -вимірної підмножини  , також  ) для якої  .

Доведення ред.

Нехай   і за припущенням індукції для   побудована множина  . Нехай   позначає супремум   для усіх  -вимірних підмножин   множини  . Цей супремум може бути нескінченним. Оскільки порожня множина   є підмножиною  , то  . Згідно означення  , існує  -вимірна підмножина  , для якої

 

Тоді крок індукції завершується якщо прийняти  . Остаточно нехай:

 

Оскільки множини   попарно не перетинаються, то із сигма адитивності заряду   випливає, що

 

Зокрема звідси випливає, що  . Якщо   не є від’ємною множиною то існує  -вимірна підмножина  , яка задовольняє  . Оскільки за побудовою також   для кожного   то і   , тож сума ряду праворуч є рівною   і тому також  , що суперечить припущенню. Отже такої множини   не існує і   є від’ємною множиною.

Побудова розкладу Гана ред.

Нехай   і, за індукцією, при вже наявному   нехай   позначає інфімум   для усіх  -вимірних підмножин   множини  . Цей інфімум може бути рівним  . Оскільки порожня множина   є підмножиною   то  . Отже, існує  -вимірна підмножина   для якої

 

Згідно з наведеним вище твердженням існує від'ємна множина   така, що  . Тоді для завершення кроку індукції можна позначити  .

Остаточно також

 

Оскільки множини   попарно не перетинаються, для кожної  -вимірної підмножини  :

 

згідно сигма-адитивності заряду  . Зокрема   є від’ємною множиною. Якщо позначити   то   є додатною множиною. Якби це було не так, то існувала б  -вимірна підмножина   для якої  . Але тоді   для всіх   і

 

що суперечить припущенню про  . Отже,   є додатною множиною.

Властивість майже єдиності ред.

Якщо   є ще одним розкладом Гана для  , то   є водночас додатною і від'ємною множиною. Отже, кожна його вимірна підмножина має міру нуль. Те ж саме стосується і  . Рівності:

 

і адитивність заряду завершують доведення теореми.

Розклад Жордана заряду ред.

Наслідком теореми Гана про розклад є Теорема Жордана про розклад, яка стверджує, що для кожного сигма-адитивного заряду   заданого на   існує розклад   на різницю двох мір   і  , принаймні одна із яких є скінченною.

Теорема Жордана відразу випливає із теореми Гана, якщо для довільної  -вимірної множини   відповідні міри визначити як:

 
 

для будь-якого розкладу Гана   заряду  .

Для побудованих так мір також для будь якого розкладу Гана   також   для  -вимірних підмножин   і   для  -вимірних підмножин  .

Міри   і   визначені за допомогою розкладу Гана називаються додатною і від'ємною складовою заряду   відповідно. Пара   називається розкладом Жордана (або розкладом Гана — Жордана) заряду  . Розклад Жордана є єдиним, його означення не залежить від вибору розкладу Гана.

Еквівалентно означення мір із розкладу Жордана   для заряду   можна одержати із рівностей

 
 

для будь-якого   у  .

Розклад Жордана є мінімальним із усіх розкладів заряду як різниці мір: якщо також   для пари   невід’ємних мір на  , то

 

Міри   із розкладу Жордана є сингулярними. Міра   називається повною варіацією заряду  

Див. також ред.

Посилання ред.

  • Hahn decomposition theorem на сайті PlanetMath.
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Hahn decomposition. Математична енциклопедія. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Jordan decomposition of a signed measure. Математична енциклопедія. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 

Література ред.