Симетрична різниця
Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B не членами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.
Симетрична різниця | |
![]() | |
Формула |
![]() |
---|---|
Позначення у формулі |
, , , і ![]() |
Нотація |
⊖[d][1] ![]() |
Підтримується Вікіпроєктом |
Вікіпедія:Проєкт:Математика ![]() |
![]() ![]() |
В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.
Визначення
ред.Симетричну різницю можна визначити двома способами:
- симетрична різниця двох заданих множин А та В — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину:
- симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин.
Властивості
ред.- Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані;
- Симетрична різниця є комутативною:
- Симетрична різниця є асоціативною:
- Перетин множин є дистрибутивним відносно симетричної різниці:
- Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:
- Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці:
- Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою;
- Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин ;
- Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:
- Зв'язок з операцією перетину множин такий:
Приклади
ред.1. Нехай
Тоді
2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.
Див. також
ред.Примітки
ред.Література
ред.- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)