Міра множини

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та $n$-вимірного об'єму для загальніших просторів.

Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення

Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.

Скінчено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеним класом підмножин ${\mathcal {F}}$, замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам:

1. $\mu (\varnothing )=0$;
2. Якщо $\{E_{n}\}_{n=1}^{N}\subset {\mathcal {F}}$ — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із ${\mathcal {F}}$, тобто $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\not =j$, то

$\mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{N}E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{N}\mu (E_{n})$.

Альтернативне визначення

Функція множини $\mu (A)$ називається мірою, якщо:

• область визначення $\sigma _{\mu }$ функції $\mu (A)$ є напівкільце множин.
• значення $\mu (A)\geq 0$
• $\mu (A)$ — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу $A=A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}$, $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$

  буде виконуватись рівність

  $\mu (A)=\sum _{k=1}^{n}\mu (A_{k})$

Система множин $\sigma$ називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до $\sigma$ множини $A$ та $A_{1}\subset A$ випливає можливість представлення множини $A$ у вигляді об'єднання $A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$, де $A_{k}$ — попарно неперетинаючі множини з $\sigma$, перша з яких є задана множина $A_{1}$.

Злічено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеною σ-алгеброю ${\mathcal {F}}$. Функція $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

1. $\mu (\varnothing )=0$;
2. (σ-адитивність) Якщо $\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з ${\mathcal {F}}$, тобто $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\not =j$, то

$\mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})$.

Продовження міри

Міра $\mu$ називається продовженням міри $m$, якщо ${\mathcal {F}}_{m}\subset {\mathcal {F}}_{\mu }$ і для кожної $A\in {\mathcal {F}}_{m}$ виконується рівність:

$\mu (A)=m(A)$

При цьому, для кожної міри $m(A)$, заданої на деякому напівкільці ${\mathcal {F}}_{m}$ існує єдине продовження $m'(A)$, що має як область визначення кільце ${\mathcal {R}}({\mathcal {F}}_{m})$ (тобто, мінімальне кільце над ${\mathcal {F}}_{m}$).

Примітки

• Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
• Якщо міра всього простору скінчена, тобто $\mu (X)<\infty$, то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
• На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.

Приклади

• Міра Жордана — приклад скінчено-адитивної міри;
• Міра Лебега — приклад нескінченої міри;
• Імовірність — приклад скінченої міри.

Див. також

• Векторна міра
• Вимірна множина
• Заряд (теорія міри)
• Комплексна міра
• Метричний простір

Джерела

• Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)