Відкрити головне меню

Формула Планка — вираз для спектральної густини потоку випромінювання (спектральної густини енергетичної світності) абсолютно чорного тіла, виведений Максом Планком для густини енергії випромінювання :

Формула Планка («форма» залежності від частоти та температури) спершу була «виведена» емпірично. Формула Планка була отримана після того, як стало зрозуміло, що формула Релея—Джинса, що походить з класичної теорії електромагнітного поля, задовільно описує випромінювання тільки в області довгих хвиль. Зі спаданням довжин хвиль формула Релея—Джинса сильно розходиться з емпіричними даними. Більш того, у граниченому випадку коротких хвиль вона дає розбіжність — нескінчену енергію випромінювання (ультрафіолетова катастрофа).

У зв'язку з цим Планк у 1900 році зробив припущення що суперечить класичній фізиці про те, що електромагнітне випромінення випромінюється у вигляді окремих порцій енергії (квантів), величина яких пов'язана з частотою випромінювання виразом:

Коефіціент пропорційності згодом назвали сталою Планка, = 1,054 · 10−27 ерг·с. Це припущення дозволило пояснити спостережуваний спектр випромінювання теоретично.

Правильність формули Планка підтверджується не тільки емпіричною перевіркою, але й наслідками з даної формули, зокрема з неї походить закон Стефана-Больцмана, також підтверджений емпірично. Крім того, з неї виводяться також приблизні формули, отримані до формули Планка, — формула Віна та формула Релея-Джинса.

Вивід для абсолютно чорного тілаРедагувати

 
Випромінювання абсолютно чорного тіла.

У наслідок лінійності рівнянь електромагнітного поля будь-який їх розв'язок може бути надано у вигляді суперпозиції монохроматичних хвиль, кожна з певною частотою  . Енергія поля може бути представлена як сума енергій відповідних польових осциляторів. Як відомо із квантової механіки, енергія осцилятора приймає дискретні значення згідно з наступної формулою:

 

Оскільки розглядається рівноважне випромінювання, то використовуючи канонічний розподіл Ґіббса, можна визначити ймовірність стану осцилятора з заданою енергією:

 

Статистична сума  дорівнює

 

Вільна енергія дорівнює

 

Для середньої (математичне очікування) енергії скористаємося рівнянням Ґіббса—Гельмгольца

 

Таким чином, середня енергія, що припадає на польовий осцилятор, дорівнює

  (1)

де   — стала Планка,   — стала Больцмана.


Кількість же стоячих хвиль в одиниці об'єму у тривимірному просторі в інтервалі від   дорівнює[1][2]:


  (2)

Отже, для спектральної щільності потужності електромагнітного випромінювання отримуємо:

 

Перший доданок у цій формулі пов'язаний з енергією нульових коливань, другий являє собою формулу Планка.

Формулу Планка також можна записати через довжину хвилі:


  (5)

Вивід із розподілу Бозе-ЕйнштейнаРедагувати

Фотони є бозонами й підпорядковуються статистиці Бозе — Ейнштейна. Для цієї статистики середнє число частинок із даною енергією   дорівнює

 

Згідно з визначенням,

 

де   — число осциляторів (в одиниці об'єму) електромагнітного поля з даною енергією у нескінченно малому околі  .

Підставивши формулу середнього числа бозонів с даною енергією в цю формулу, отримаємо формулу Планка.

Перехід до формул Релея—ДжинсаРедагувати

Формула Планка точно узгоджується з експериментальними даними у всьому інтервалі частот від 0 до  . При малих частотах, коли   можна розкласти експоненту по  . У результаті отримаємо, що  , тоді (1) і (2) переходять в формулу Релея—Джинса.

  і
 

Перехід до закону Стефана — БольцманаРедагувати

Для енергетичної світності слід записати інтеграл:

 

Введемо змінну  , тоді  ,  , отримаємо

 

Отриманий інтеграл зводиться до дзета-функції Рімана, і має точне значення  . Підставивши його, отримаємо відомий закон Стефана — Больцмана:

 

Підстановка чисельних значень констант дає значення для   Вт/(м2  K4), що добре узгоджується з експериментом.

Перехід до закону зміщення ВінаРедагувати

Для переходу до закону Віна, необхідно продиференціювати вираз (5) по   та прирівняти похідну нулю (пошук екстремуму):

 .

Значення  , при якому функція досягає максимуму, перетворює на нуль вираз, що стоїть у фігурних дужках. Означимо  , та отримаємо рівняння:

 .

Розв'язок такого рівняння дає x=4,96511.Отже,  , звідси виходить:

 .

Чисельна підстановка констант дає значення для b=0,0028999 К·м, що збігається з експериментальним, а також зручну наближену формулу   мкм·К. Так, сонячна поверхня має максимум інтенсивності у зеленій області (0,5 мкм), що відповідає температурі близько 6000 К.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Сивухін Д. В.  — Москва, 1980. — Т. Том 4 (Оптика). § 117, Формула Релея — Джинса, формула 117.7, с. 692—694(рос.)
  2. Савельев И. В. — М.: , 1967. — Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — 416 с.,. Курс общей физики. — Москва : Наука, 1967. — Т. III. — 416 с. § 52, Формула Рэлея — Джинса, формула 52.7, с. 253—258(рос.)

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати