Відкрити головне меню
Криві потоку випромінювання абсолютно чорних тіл з різною температурою. Наочно можна бачити, що при зростанні температури максимум випромінювання зсувається в ультрафіолетовий бік спетру (в область коротких довжин хвиль). Саме цю особливість й описує закон зміщення Віна.

Закон зміщення Віна дає залежність довжини хвилі, на якій потік випромінювання енергії чорного тіла сягає свого максимуму, від температури чорного тіла.

Зміст

Загальний вигляд закону зміщення ВінаРедагувати

У системі СІ закон має вигляд:

 

де T — температура в кельвінах, а   — довжина хвилі з максимальною інтенсивністю у метрах. Коефіцієнт у даній формулі має при цьому розмірність [ м К].

Доведення законуРедагувати

Для доведення можна використати вираз закону випромінювання Планка для абсолютно чорного тіла, записаного для довжин хвиль:

 

Щоб знайти екстремуми цієї функції в залежності від довжини хвилі, її слід продиференціювати по   й прирівняти диференціал до нуля:

 

З цієї формули відразу можна визначити, що похідна наближається до нуля коли   чи коли  , що справджується при  . Проте, обидва ці випадки дають мінімум функції Планка  , яка для зазначених довжин хвиль сягає свого нуля (див. малюнок угорі). Тому аналіз слід продовжити лише з третім можливим випадком коли

 

Використовуючи заміну змінних  , дане рівняння можна перетворити на

 

Чисельний розв'язок цього рівняння дає [1]:

 

Таким чином, враховуючи заміну змінних та значення сталих Планка, Больцмана та швидкості світла, довжина хвилі, на якій інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла сягає свого максимуму, визначається як

 ,

де температура задана в кельвінах, а   — у метрах.


ПрикладиРедагувати

Згідно із законом зміщення Віна людське тіло з температурою 290 K (+13°C) має максимум теплового випромінювання на довжині хвилі 10 μм, що відповідає інфрачервоному діапазону випромінювання.

Реліктове випромінювання космосу має ефективну температуру 2,7 K й сягає свого максимуму на довжині хвилі 1 мм. Відповідно ця довжина хвилі належить вже до радіодіапазону.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

Джерела та приміткиРедагувати

  1. Рівняння   не можливо розв'язати застосовуючи елементарні фунції. Його точний розв'язок можна знайти лише за допомогою W-функції Ламберта, проте в даному випадку можна скористатися й наближеним розв'язком.
  • B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision," Am. J. Phys. 67 (11), 946-953 1999.
  • M. A. Heald, "Where is the 'Wien peak'?", Am. J. Phys. 71 (12), 1322-1323 2003.