Розподіл Ґіббса — розподіл, що визначає кількості частинок в різних квантових станах. Ґрунтується на таких постулатах статистики:

  1. Всі доступні мікростани системи рівноймовірні.
  2. Рівновазі відповідає найімовірніший розподіл (підсистем за станами).
  3. Ймовірність перебування підсистеми в деякому стані визначається лише енергією стану.

Розподіл Ґіббса являє собою найзагальнішу і зручну основу для побудови рівноважної статистичної механіки.

Кількісний розглядРедагувати

Статистична сума

 

як і в термодинаміці, має зміст відносної ймовірність знаходження системи в певному микростанів. І, дивлячись на співвідношення Больцмана  , легко зрозуміти, що станам з максимальною ентропією відповідає максимальна статистична вага. Потрібно врахувати, що в системі постійні число частинок

 

і повна енергія

 

Факторіал великих чисел (а числа   і   великі; тими з них, які малі, можна знехтувати) знаходиться за формулою Стірлінга:  , де  . Цю точну формулу можна замінити наближеною

 

так як відносна помилка в обчисленнях за цією формулою не перевершує  , вже при   вона менше одного відсотока. Із співвідношень (0), (1) і (3) випливає наступне:

 

Чисельник тут є функція від  , і можна ввести позначення

 

що дає

 

Тоді з формули Больцмана   слідує

 

Тут можна знехтувати 0,5 порівняно з  . Тоді

 

Максимум ентропії (5) із урахуванням співвідношень (1) і (2), використовуючи метод невизначених множників, буде при умовах

 

Звідси  , де   и   — множники Лагранжа, не залежні від змінних  . У системі є   змінні і три рівняння - отже, будь-які дві залежать від інших; відповідно можна вважати залежними   та   і вибрати множники Лагранжа так, щоб коефіцієнти при   и   звернулися в 0. Тоді при інших   змінні  ,  , … можна прийняти за незалежні, і при них коефіцієнти також будуть рівні 0. Так отримано

 

звідси

 

де   — нова константа.

Для визначення сталої   можна скласти систему в теплопровідні стінки і квазістатично змінювати її температуру. Зміна енергії газ а одно  , а зміна ентропії (зі співвідношення (5)) дорівнює  . Так як  , то звідси  , і тому

 

ТермостатРедагувати

Отримано найбільш ймовірне розподіл системи. Для довільної макроскопічної системи (системи в термостаті), оточеній протяжної середовищем (термостатом), температура якої підтримується постійною, виконується співвідношення (6) - розподіл Гіббса: їм визначається відносна ймовірність того, що система при термодинамічній рівновазі знаходиться в  -вому квантовому стані.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: МГУ, 1986. — 312 с.
  • Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. — Том 2. — М.: УРСС, 2002. — 430 с.
  • Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967. — 452 c.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — В 5 т. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  • Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 277 c.