Алгебрична крива

(Перенаправлено з Алгебраїчна крива)

Алгебричні криві — це найпростіші об'єкти евклідової геометрії, для визначення яких недостатньо лінійних рівнянь. Зокрема, в евклідовій геометрії плоска алгебрична крива визначається як множина нулів многочлена від двох змінних. Наприклад, одиничне коло — це алгебрична крива, оскільки вона задається рівнянням x2 +y2-1 = 0.[1]

Кубика Чирнгауза — алгебрична крива третього порядку.

За багатьма технічними причинами зручно також розглядати комплексні корені відповідного многочлена, а також узагальнити визначення на випадок довільного поля.

В алгебричній геометрії, плоска афінна алгебрична крива над полем k визначається як множина точок K2, які є коренями многочлена від двох змінних з коефіцієнтами в k, де K — алгебричне замикання поля k. Точки цієї кривої, всі координати яких лежать в k, називаються k-точками. Наприклад, точка належить розглянутому вище одиничному колу, однак не належить його дійсній частині. Многочлен x2 +y2 + 1 задає алгебричну криву, дійсна частина якої порожня.

Більш загально, можна розглядати алгебричні криві, що містяться не в площині, а в просторі з довільною розмірністю або в проективному просторі. Виявляється, що багато властивостей алгебричної кривої не залежить від вибору конкретного вкладення в деякий простір, і це призводить до загального визначення алгебричної кривої:

Алгебрична крива — це алгебричний многовид розмірності 1. Це визначення можна переформулювати так: алгебрична крива — це алгебричний многовид, всі підмноговиди якого складаються з однієї точки.

Приклади алгебричних кривихРедагувати

Раціональні кривіРедагувати

Раціональна крива, також відома як унікурсальна крива[ru], — це крива, біраціонально еквівалентна аффинній прямій (або проективній прямій), іншими словами, крива, на якій можлива раціональна параметризація.

Більш конкретно, раціональна крива в n-вимірному просторі може бути параметризована (за винятком деякого числа ізольованих «особливих точок») за допомогою n раціональних функцій від єдиного параметра t.

 
x2 + xy + y2 = 1

Наприклад, розглянемо еліпс x2 +xy+y2 = 1 з раціональною точкою (-1, 0). Провівши через неї пряму y=t (x+ 1), підставивши вираз y через x в рівняння та розв'язавши відносно x, отримаємо рівняння

 
 

які задають раціональну параметризацію еліпса. У такому вигляді представимі всі точки еліпса крім точки (-1, 0), можна зіставити їй t = ∞, тобто параметризувати еліпс проективною прямою.

Цю раціональну параметризацію можна розглядати як параметризацію «еліпса в проективному просторі», перейшовши до однорідних координат, тобто замінивши t на T/U, а x, y — на X/Z,Y/Z відповідно. Параметризація еліпса X2 +XY+Y2 =Z2 проективної прямої прийме такий вигляд:

 

Еліптичні кривіРедагувати

Докладніше: Еліптична крива

Раціональні криві (над алгебричним замкненим полем) — це алгебричні криві роду 0 (див. нижче), у цій термінології еліптичні криві — це криві роду 1 з раціональною точкою. Основний приклад такої кривої — кубика без особливостей; такої кубики достатньо, щоб промоделювати будь-яку криву роду 1.

Еліптична крива несе на собі структуру абелевої групи. Сума трьох точок на кубиці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці точки колінеарні.

Перетин двох конік є кривою четвертого порядку роду 1, а значить, еліптичною кривою, якщо вона містить хоча б одну раціональну точку. В іншому випадку перетин може бути раціональною кривою четвертого порядку з особливостями, або бути розкладеним на криві меншого порядку (кубика і пряма, дві коніки, коніку і дві прямі або чотири прямі).

Зв'язок з полями функційРедагувати

Вивчення алгебричних кривих може бути зведене до вивчення нескоротних кривих (тобто не розкладаються в об'єднання двох менших кривих). Кожній такій кривій можна зіставити поле раціональних функцій на ній; виявляється, що криві біраціонально еквівалентні тоді і лише тоді, коли їх поля функцій ізоморфні. Це означає, що категорія алгебричних кривих та раціональних відображень двоїста[ru] категорії одновимірних полів алгебричних функцій, тобто полів, які є алгебричними розширеннями поля  .

Комплексні криві як дійсні поверхніРедагувати

Комплексна алгебрична крива, вкладена в афінний або проективний простір, має топологічну розмірність 2, іншими словами, є поверхнею. Зокрема, комплексна алгебрична крива без особливостей є двовимірним орієнтованим многовидом.

Топологічний рід цієї поверхні збігається з родом алгебричної кривої (який можна обчислити алгебричними способами). Дуже коротко: якщо проекція кривої без особливостей на площину є алгебричною кривою ступеня d зі звичайними особливостями (точки подвійного самоперетину, з різними дотичними прямими у кожної з компонент), то вихідна крива має рід (d-1) (d-2) /2-k, де k — число цих особливостей.

Вивчення компактних ріманових поверхонь складається фактично у вивченні комплексних алгебричних кривих без особливостей, розглянутих як поверхні з додатковою аналітичною структурою. Більш точно, такі категорії еквівалентні[ru]:

Класифікація особливостейРедагувати

 
x3y2 = 0

Особливі точки включають в себе кілька типів точок, в яких крива «перетинає сама себе», а також різні типи каспів. Наприклад, на малюнку зображена крива x3-y2 = 0 з каспом на початку координат.

Особливі точки можна класифікувати за їхніми інваріантами. Наприклад, особливу точку з дельта-інваріантом δ можна інтуїтивно описати як точку, в якій зустрічаються одразу δ «самоперетинів». У разі точки P нескоротьної кривої δ можна обчислити як довжину модуля  , де   — локальне кільце в точці P та   — його ціле замикання. Обчислення дельта-інваріантів всіх особливих точок дозволяє обчислити рід кривої за формулою:

 

Інші важливі інваріанти: кратність m особливості (максимальне ціле число, таке що всі похідні які задають криву многочлена, порядок яких не перевищує m, дорівнюють нулю) і число Мілнора[en].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Ю. И. Манин. Рациональные точки на алгебраических кривых. — Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964.

ЛітератураРедагувати

  • Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов. — М. : Мир, 1968. — С. 285.
  • Джон Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М. : Мир, 1971. — С. 121.
  • Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Plane Algebraic Curves. — Birkhäuser, 1986.
  • Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Surfaces. — Springer, 1980.
  • W. Fulton. Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry.
  • C.G. Gibson. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 1998.