Умовне математичне сподівання

Умовне математичне сподівання в теорії ймовірностей — середнє значення випадкової величини відносно умовного розподілу.

ВизначенняРедагувати

Вважатимемо, що задано ймовірнісний простір  . Нехай  інтегровна випадкова величина, тобто  . Нехай також   — під-σ-алгебра σ-алгебри  .

УМС відносно σ-алгебриРедагувати

Випадкова величина   називається умовним математичним сподіванням   відносно σ-алгебри  , якщо

  •   вимірна відносно  .
  •  ,

де  індикатор події  . Умовне математичне сподівання позначається  .

Приклад. Нехай   Покладемо  . Тоді   - σ-алгебра, і  . Нехай випадкова величина   має вигляд

 .

Тоді

 

УМС щодо сімейства подійРедагувати

Нехай   — довільне сімейство подій. Тоді умовним математичним сподіванням   відносно   називається

 ,

де   — мінімальна сигма-алгебра, що містить  .

Приклад. Нехай   Нехай також  . Тоді  . Не випадкова величина   має вигляд

 .

Тоді

 

УМС щодо випадкової величиниРедагувати

Нехай   інша випадкова величина. Тоді умовним математичним сподіванням   відносно   називається

 ,

де   — σ-алгебра, породжена випадковою величиною  .

Інше визначення УМС   відносно  :

 

Таке визначення конструктивно описує алгоритм знаходження УМС:

  • знайти математичне сподівання випадкової величини  , приймаючи   за константу  ;
  • Потім в отриманому виразі   назад замінити на випадкову величину  .

Приклад:  

 

Умовна ймовірністьРедагувати

Нехай   — довільна подія, і   — його індикатор. Тоді умовною ймовірністю   відносно   називається

 .

ЗауваженняРедагувати

  • Умовне математичне сподівання — це випадкова величина, а не число!
  • Умовне математичне сподівання визначене з точністю до подій ймовірності нуль. Таким чином, якщо   і    -майже усюди, то  . Ототожнивши випадкові величини, що розрізняються лише на подіях ймовірності нуль, отримуємо єдиність умовного математичного сподівання.
  • Узявши  , отримуємо за визначенням:
 ,

і зокрема справедлива формула повної ймовірності:

 .
  • Нехай σ-алгебра   породжена розбиттям  . Тоді
 .

Зокрема формула повної ймовірності приймає класичний вигляд:

 ,

а відповідно

 .

Основні властивостіРедагувати

  • Якщо  , то існує Борелева функція  , така що
 .

Умовне математичне сподівання   щодо події   за визначенням рівне

 .
  • Якщо   м.н., то   п.н.
  • Якщо   незалежна від  , то
  м.н.

Зокрема, якщо   незалежні випадкові величини, то

  м.н.
  • Якщо   — дві σ-алгебри, такі що  , то
 .
  • Якщо   -  -вимірна, і   — випадкова величина, така що  , то
 .
  • "Математичне сподівання прибирає умову". Це правило вірне для УМС відносно випадкової величини (УМС в такому разі буде випадковою величиною) і для умовної ймовірності відносно випадкової величини
 .

Додаткові властивостіРедагувати

УМС для дискретних величинРедагувати

Нехай  дискретна випадкова величина, розподіл якої задається функцією ймовірності  . Тоді система подій   є розбиттям  , і

 ,

а

 ,

де   означає математичне сподівання узяте щодо умовної ймовірності  .

Якщо випадкова величина   також дискретна, то

 ,

де  умовна функція ймовірності випадкової величини   відносно  .

УМС для абсолютно неперервних випадкових величинРедагувати

Нехай   - випадкові величини, такі що вектор   абсолютно неперервний, і його розподіл задається густиною ймовірності  . Введемо умовну щільність  , поклавши за визначенням

 ,

де   - щільність імовірності випадкової величини  . Тоді

 ,

де функція   має вигляд

 .

Зокрема,

 .

УМС у L2Редагувати

Розглянемо Простір випадкових величин із скінченним другим моментом  . У ньому визначені скалярний добуток

 ,

і породжена ним норма

 .

Множина всіх випадкових величин   з скінченним другим моментом і вимірних відносно  , де  , є підпростором  . Тоді оператор  , що задається рівністю

 ,

є оператором ортогонального проектування на  . Зокрема:

  • Умовне математичне сподівання   — це найкраще середньо-квадратичне наближення    -вимірними випадковими величинами:
 .
 .
 .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати