Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]

Дискретний випадокРедагувати

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,…,xn з її області визначення та додатних чисел ai, справджується:

 

нерівність міняє знак, коли φ — угнута функція.

Частковим випадком є:

 

Позначивши   отримаємо еквівалентне формулювання:

 

де:

 

За допомогою нерівності Єнсена в даному вигляді можна довести:

Інтегральне формулюванняРедагувати

Для опуклої функції   і інтегровної функції   нерівність Єнсена записується як

 

Більш загально, нехай (Ω, A, μ) є вимірним простором для якого загальна міра μ(Ω) є рівною 1, g є μ-інтегровною функцією із значеннями у дійсному відрізку (можливо нескінченному) I і φ є опуклою функцією із I у ℝ. Тоді:

 
де інтеграл з правої сторони може бути рівним +∞.

Імовірнісне формулюванняРедагувати

Нехай   — простір імовірностей, і   — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також   — інтегровна опукла функція. Тоді

 ,

Де   — математичне сподівання.

Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо   — під-σ-алгебра подій. Тоді

 ,

де   позначає умовне математичне сподівання відносно σ-алгебри  .

ДоведенняРедагувати

Дискретний випадокРедагувати

Якщо  і   — довільні невід'ємні дійсні числа такі, що  то, враховуючи опуклість  маємо:

 

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, …, λn є невід'ємними дійсними числами такими, що λ1 + … + λn = 1, тоді

 

для будь-яких x1, …, xn.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо, що воно справедливе для певного даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймні одне λi є строго додатним, припустимо, що це (без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:

 

Оскільки  , до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

ЗауваженняРедагувати

Якщо функція   угнута (опукла догори), то знак в нерівності змінюється на протилежний.

ЗаміткиРедагувати

  1. Jensen, J. L. W. V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571. 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати