Відкрити головне меню

Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]

Зміст

Дискретний випадокРедагувати

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,…,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:

 

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

 

Позначивши   отримаємо еквівалентне формулювання:

 

де:

 

За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:

Імовірнісне формулюванняРедагувати

Нехай   — простір імовірностей, і   — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також   — інтегровна опукла функція. Тоді

 ,

Де   — математичне очікування.

Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо   — під-σ-алгебра подій. Тоді

 ,

де   позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри  .

ДоведенняРедагувати

Дискретний випадокРедагувати

Якщо λ1 і λ2 — два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ1 + λ2 = 1 тоді враховуючи опуклість   маємо

 

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, …, λn є додатними дійсними числами, такими що λ1 + … + λn = 1, тоді

 

для будь-яких x1, …, xn.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певного даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймні одне λi є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:

 

Оскільки  , до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

ЗаміткиРедагувати

  1. Jensen, J. L. W. V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571.  Вказано більш, ніж один |author= та |last= (довідка)

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати