Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Передбачимо, що задано ймовірнісний простір  .

Дискретні випадкові величиниРедагувати

Нехай   і   — випадкові величини, такі, що випадковий вектор   має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей  . Нехай   такий, що  . Тоді функція

 ,

де   - функція ймовірностей випадкової величини  , називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини   за умови, що  . Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.

Абсолютно неперервні випадкові величиниРедагувати

Нехай   и   - випадкові величини, такі що випадковий вектор   має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей  . Нехай   таке, що  , де   - щільність випадкової величини  . Тоді функція

 

називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини   за умови, що  . Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.

Властивості умовних розподілівРедагувати

  • Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема
  •  ,
  •  ,

і

  •   майже усюди на  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .
  • Якщо випадкові величини   і   незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:
 

або

  майже усюди на  .

Умовні ймовірностіРедагувати

Дискретні випадкові величиниРедагувати

Якщо   - зліченна підмножина  , то

 .

Абсолютно неперервні випадкові величиниРедагувати

Якщо   - борелівська підмножина  , то припускаємо за визначенням

 .

Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки  .

Умовні математичні сподіванняРедагувати

Дискретні випадкові величиниРедагувати

 .
  • Умовне математичне сподівання   за умови випадкової величини   - це третя випадкова величина  , що задається рівністю
 .

Абсолютно неперервні випадкові величиниРедагувати

  • Умовне математичне сподівання випадкової величини   за умови   виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:
 .
  • Умовне математичне сподівання   за умови випадкової величини   - це третя випадкова величина  , що задається рівністю
 .

ДжерелаРедагувати