Поле Якобівекторне поле вздовж геодезичної лінії в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями. Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.

Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.

Названі на честь німецького математика Карла Якобі.

ВизначенняРедагувати

Рівняння ЯкобіРедагувати

Нехай Mгладкий многовид розмірності n,  афінна зв'язність на ньому, T і Rтензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію   і позначимо   її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії   називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):

 

У рівності вище використано позначення  

В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:

 

Однопараметрична сім'я геодезичних лінійРедагувати

Розглянемо тепер відображення класу   з множини   в многовид M,   з такими властивостями:

  • Для довільного   крива   є геодезичною лінією;
  •  

таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t   визначає криву для   Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці   Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:

 

Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.

ПрикладРедагувати

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні   і   з природною параметризацією  , розділені кутом  . Геодезичне відстань   рівна

 

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

  для будь-якого  .

Замість цього ми можемо розглянути похідні по   при  :

 

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при  . Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати  ; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

 ,

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Явний вигляд рівняння ЯкобіРедагувати

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду Нехай  ; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис   в  . Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис   в будь-якій точці  . Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з  . Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом:  , звідки:

 

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

 

для кожного  . Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Властивості простору полів ЯкобіРедагувати

Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх   і є єдиними, якщо задані   і   для всіх   і довільної точки  .

Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.

Властивості для ріманових многовидівРедагувати

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

  • Векторні поля   і   визначені уздовж   є полями Якобі.
  • Векторне поле   де   — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді,коли функція  лінійна.
  • Будь-яке поле Якобі   можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми  , де  дійсні числа, а вектор   є ортогональним до   для всіх  .
  • Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії   є ортогональним до   в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії.
  • Нехай   — точки, що належать одній геодезичній лінії   і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних   існує єдине поле Якобі визначене на   що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
  • Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії   тоді:
  де g — ріманова метрика.

ПрикладиРедагувати

  • Нехай   і   Визначимо підмножину   таким чином:   тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення   є визначеним. Тоді відображення   визначене як   є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал   задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію   з паралельним ортонормованим репером  ,  , побудованим, як описано вище.

  • В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по  .
  • Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини   будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією  ,   і  , де  .
  • Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини   будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією  ,  ,   і  , де   .
  • Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
  • Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в  , індукованої метрикою на  ).

Див. ТакожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)