Відкрити головне меню

Поле Якобівекторне поле вздовж геодезичної лінії в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями. Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.

Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.

Названі на честь німецького математика Карла Якобі.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Рівняння ЯкобіРедагувати

Нехай Mгладкий многовид розмірності n,  афінна зв'язність на ньому, T і Rтензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію   і позначимо   її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії   називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):

 

У рівності вище використано позначення  

В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:

 

Однопараметрична сім'я геодезичних лінійРедагувати

Розглянемо тепер відображення класу   з множини   в многовид M,   з такими властивостями:

  • Для довільного   крива   є геодезичною лінією;
  •  

таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t   визначає криву для   Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці   Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:

 

Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.

ПрикладРедагувати

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні   і   з природною параметризацією  , розділені кутом  . Геодезичне відстань   рівна

 

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

  для будь-якого  .

Замість цього ми можемо розглянути похідні по   при  :

 

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при  . Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати  ; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

 ,

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Явний вигляд рівняння ЯкобіРедагувати

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду Нехай  ; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис   в  . Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис   в будь-якій точці  . Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з  . Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом:  , звідки:

 

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

 

для кожного  . Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Властивості простору полів ЯкобіРедагувати

Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх   і є єдиними, якщо задані   і   для всіх   і довільної точки  .

Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.

Властивості для ріманових многовидівРедагувати

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

  • Векторні поля   і   визначені уздовж   є полями Якобі.
  • Векторне поле   де   — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді,коли функція  лінійна.
  • Будь-яке поле Якобі   можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми  , де  дійсні числа, а вектор   є ортогональним до   для всіх  .
  • Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії   є ортогональним до   в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії.
  • Нехай   — точки, що належать одній геодезичній лінії   і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних   існує єдине поле Якобі визначене на   що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
  • Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії   тоді:
  де g — ріманова метрика.

ПрикладиРедагувати

  • Нехай   і   Визначимо підмножину   таким чином:   тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення   є визначеним. Тоді відображення   визначене як   є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал   задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію   з паралельним ортонормованим репером  ,  , побудованим, як описано вище.

  • В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по  .
  • Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини   будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією  ,   і  , де  .
  • Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини   будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією  ,  ,   і  , де   .
  • Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
  • Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в  , індукованої метрикою на  ).

Див. ТакожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)