Зв'язність Леві-Чивіти

В рімановій геометрії, зв'язністю Леві-Чивіти називається особлива афінна зв'язність на дотичному розшаруванні (псевдо)ріманового многовиду. Дана зв'язність не має кручень і узгоджується з (псевдо)рімановою метрикою. Для кожного (псевдо)ріманового многовиду існує єдина зв'язність Леві-Чивіти, що має багато важливих властивостей і є одним з основних об'єктів вивчення у рімановій геометрії. Названа на честь італійського математика Тулліо Леві-Чивіти.

ВизначенняРедагувати

Нехай g — псевдоріманова метрика класу   на гладкому многовиді M, тобто сім'я симетричних білінійних невироджених форм gx на дотичних просторах  , таких, що для довільних векторних полів X і Y класу  , функція g(X,Y) належить до класу  . Сигнатура g є локально сталою величиною. Якщо білінійна форма gx є додатноозначеною в кожній точці x то g називається рімановою метрикою.

Нехай   — афінна зв'язність, тобто оператор, що для довільних векторних полів X і Y класу   однозначно визначає векторне поле   того ж класу, так що для  -поля   і  -функції   виконуються умови:

 

Дана афінна зв'язність   називається зв'язністю Леві-Чивіти якщо вона додатково задовольняє умови :

  1.   є зв'язністю без кручень, тобто її тензор кручення є нульовим: для всіх векторних полів   і   відповідного класу,
      ;
  2.   є паралельною: для всіх векторних полів  ,   і   відповідного класу, справедливою є рівність :
 .

Одним із найважливіших результатів ріманової геометрії є твердження про існування і єдиність зв'язності Леві-Чивіти для всіх (псевдо)ріманових многовидів.

ДоведенняРедагувати

  • Єдиність : Припустимо існування зв'язності Леві-Чивіти і доведемо її єдиність. Нехай метрика g є паралельною для зв'язності Леві-Чивіти, для всіх векторних полів  ,   і  , маємо :
     ,
     ,
     .
    Додавши перші дві рівності і віднявши третю отримуємо :
     
    Зважаючи на відсутність кручень, цей вираз можна спростити :
     .
    Зважаючи на невиродженість g, зв'язність   є однозначно визначеною у всіх випадках.
  • Існування : Для всіх векторних полів X і Y на M визначимо векторне поле  , що є єдиним векторним полем на M, яке задовольняє вище отриману рівність :
     .
    Тоді оператор   є афінною зв'язністю. Справді, для всіх функцій f:
     
     
     
     
     
     .
      є зв'язністю без кручень:
     
     
     .
    Нарешті, g є паралельною метрикою для  :
     
     
     .
    Тобто   задовольняє всі умови з визначення зв'язності Леві-Чивіти.

Запис в локальних координатахРедагувати

Розглянемо тепер локальні координати   у рімановому многовиді і відповідний локальний базис у дотичних просторах   .

Позначимо   компоненти метричного тензора g в цьому локальному базисі. Визначені властивості зв'язності Леві-Чивіти можна подати через символи Крістоффеля  , що визначаються з рівностей  :

 

Символи Крістофеля для  :

 

де   є відповідними елементами матриці оберненої до матриці  .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.  (англ.)
  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II). Publish or Perish Press. ISBN 0-914098-71-3.  (англ.)