В рімановій геометрії поняття спря́жених точок відіграє важливу роль у вивченні мінімізуючих властивостей геодезичних ліній.

ВизначенняРедагувати

Спряжений дотичний векторРедагувати

Нехай Mріманів многовид,   і  дотичний вектор у заданій точці. Вектор X називається спряженим, якщо експоненційне відображення   є виродженим (тобто його матриця Якобі в довільних локальних координатах є необоротною).

Спряжені точки на геодезичній лініїРедагувати

Нехай точки   належать деякій спільній геодезичній лінії   Тоді точка q називається спряженою до точки p, якщо існує такий спряжений вектор   що   і при тому крива   є репараметризацією кривої  

Еквівалентно точки   називаються спряженими відносно геодезичної лінії   якщо існує ненульове поле Якобі вздовж   що приймає нульові значення в точках  

Звідси очевидно, що якщо точка q є спряженою до точки p то і точка p є спряженою до точки q.

Зв'язок з однопараметричною сім'єю геодезичнихРедагувати

Нехай   де   — однопараметрична сім'я геодезичних ліній і до того ж   і   для всіх   Якщо поле Якобі для цієї сім'ї є ненульовим, то p і q є спряженими щодо  

Проте не всі поля Якобі з нульовими значеннями в точках p і q можна отримати в такий спосіб. Власне для будь-якого такого поля можна вибрати таку однопараметричну сім'ю геодезичних ліній, що   але рівність   не обов'язково виконуватиметься попри те, що значення поля Якобі в точці q рівне нулю. В цьому випадку кажуть, що рівність справджується з точністю до величин першого порядку.

Таким чином спряжену точку до точки p можна умовно охарактеризувати, як точку в якій майже перетинаються елементи однопараметричної сім'ї геодезичних ліній, що починаються в точці p.

Мінімізуючі властивості геодезичних лінійРедагувати

Нехай  геодезична лінія без перетинів. Якщо для всіх значень   точки   і   не є спряженими, то геодезична лінія   є локальним мінімумом оператора довжини, тобто її довжина є меншою від усіх близьких кривих. Якщо натомість для деякого   точки   і   є спряженими то властивість локального мінімуму не є справедливою для всіх   Оскільки множина точок спряжених до даної щодо геодезичної лінії є ізольованою, кажуть, що геодезична крива є локальним мінімумом довжини до першої спряженої точки.

Див. ТакожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)