Спряжені точки

В рімановій геометрії поняття спря́жених точок відіграє важливу роль у вивченні мінімізуючих властивостей геодезичних ліній.

Визначення

Спряжений дотичний вектор

Нехай M — ріманів многовид, $p\in M$ і $X\in T_{p}M$ — дотичний вектор у заданій точці. Вектор X називається спряженим, якщо експоненційне відображення $\exp _{p}X$ є виродженим (тобто його матриця Якобі в довільних локальних координатах є необоротною).

Спряжені точки на геодезичній лінії

Нехай точки $p,q\in M$ належать деякій спільній геодезичній лінії $\gamma (t).$ Тоді точка q називається спряженою до точки p, якщо існує такий спряжений вектор $X\in T_{p}M,$ що $q=\exp _{p}X$ і при тому крива $\exp _{p}tX$ є репараметризацією кривої $\gamma (t).$

Еквівалентно точки $p,q\in M$ називаються спряженими відносно геодезичної лінії $\gamma (t),$ якщо існує ненульове поле Якобі вздовж $\gamma (t),$ що приймає нульові значення в точках $p,q.$

Звідси очевидно, що якщо точка q є спряженою до точки p то і точка p є спряженою до точки q.

Зв'язок з однопараметричною сім'єю геодезичних

Нехай $\gamma _{\tau }(t),$ де $t\in [0,1],\;\tau \in (-\varepsilon ,\varepsilon )$ — однопараметрична сім'я геодезичних ліній і до того ж $\gamma _{\tau }(0)=p$ і $\gamma _{\tau }(1)=q$ для всіх $\tau \in (-\varepsilon ,\varepsilon ).$ Якщо поле Якобі для цієї сім'ї є ненульовим, то p і q є спряженими щодо $\gamma _{\tau }(t)=\gamma _{0}(t).$

Проте не всі поля Якобі з нульовими значеннями в точках p і q можна отримати в такий спосіб. Власне для будь-якого такого поля можна вибрати таку однопараметричну сім'ю геодезичних ліній, що $\gamma _{\tau }(0)=p$ але рівність $\gamma _{\tau }(1)=q$ не обов'язково виконуватиметься попри те, що значення поля Якобі в точці q рівне нулю. В цьому випадку кажуть, що рівність справджується з точністю до величин першого порядку.

Таким чином спряжену точку до точки p можна умовно охарактеризувати, як точку в якій майже перетинаються елементи однопараметричної сім'ї геодезичних ліній, що починаються в точці p.

Мінімізуючі властивості геодезичних ліній

Нехай $\gamma (t),\;t\in [a,b]$ — геодезична лінія без перетинів. Якщо для всіх значень $t\in [a,b]$ точки $\gamma (a)$ і $\gamma (t)$ не є спряженими, то геодезична лінія $\gamma (t)$ є локальним мінімумом оператора довжини, тобто її довжина є меншою від усіх близьких кривих. Якщо натомість для деякого $t_{0}\in [a,b]$ точки $\gamma (a)$ і $\gamma (t_{0})$ є спряженими то властивість локального мінімуму не є справедливою для всіх $t>t_{0}.$ Оскільки множина точок спряжених до даної щодо геодезичної лінії є ізольованою, кажуть, що геодезична крива є локальним мінімумом довжини до першої спряженої точки.

Див. Також

• Поле Якобі

Література

• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN 0442034105 (англ.)
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)