Експоненційне відображення

Експоненційне відображення — узагальнення поняття експоненційної функції та експоненти матриці в диференціальній геометрії і зокрема рімановій геометрії.

Для многовида $M$ на якому задано деяку афінну зв'язність експоненціальне відображення діє з дотичного розшарування $TM$ у многовид $M$ .

Експоненційне відображення зазвичай позначається $\exp \colon TM\to M$, а його звуження на дотичний простір $T_{p}M$ в точці $p\in M$ позначається $\exp _{p}\colon T_{p}M\to M$ і називається експоненційним відображенням в точці $p$.

Визначення

Нехай $M$ — деякий гладкий многовид на якому задана афінна зв'язність $\nabla _{Y}X$ і $p\in M$. Для кожного вектора $X\in T_{p}M$ існує єдина геодезична $\gamma _{X}(t)$, що виходить з точки $p$ (тобто $\gamma _{X}(0)=p$), така що $\gamma _{X}'(0)=X$. Дана геодезична лінія визначена в деякому околі нуля в $\mathbb {R}$ і також з властивостей геодезичних ліній $\gamma _{sX}(t)=\gamma _{X}(st)$ там де значення в правій частині є визначеним. Зокрема $\gamma _{X}(1)$ є визначеним в деякому околі нуля простору $T_{p}M$.

Експоненційне відображення вектора $X\in T_{p}M$ визначається як $\exp _{p}(X)=\gamma _{X}(1)$. Воно є визначене загалом лише в деякому околі нуля дотичного простору.

Зокрема для ріманових многовидів існує канонічна афінна зв'язність (зв'язність Леві-Чивіти), що узгоджується з рімановою структурою многовида. Відображення визначене як вище для цієї конкретної зв'язності називається експоненційним відображенням для ріманових многовидів.

Властивості

• $\exp _{p}(0)=p$.

Образ поверхні Землі при оберненому експоненційному відображенні до північного полюса.

• Для кожної точки $p\in M$ існує таке число $\varepsilon >0$, що експоненційне відображення $\exp _{p}$ визначене для всіх векторів $X\in T_{p}M$, які задовольняють умову $|X|\leq \varepsilon$
• Більш того, $\exp _{p}$ є дифеоморфізмом в деякому околі нуля в дотичному просторі $T_{p}M$ в деякий окіл точки $p$ многовида $M$. Таким чином, в деякому околі точки $p$ многовида $M$ визначене обернене експоненційне відображення (що також називається логарифмом і позначається $\log _{p}$ ), що набуває значень в деякому околі нуля дотичного простору $T_{p}M$.
• Нехай тепер $N\subset TM$ , така що для $(p,X)\in N$ (де $p\in M,\;X\in T_{p}M$) відображення $\exp _{p}(X)$ є визначене. Тоді множина $N$ є відкритою підмножиною в $TM$ і відображення $\exp(p,X)=\exp _{p}(X)$ визначене на $N$ буде теж диференційовним.

• У метрично повному рімановому многовиді експоненційне відображення визначено для будь-якого дотичного вектора (Теорема Хопфа — Рінова).

• Диференціал експоненціального відображення в будь-якій точці $p$ є тотожним лінійним оператором. Тобто

  $(d_{p}\exp _{p})(X)=X$

для будь-якого $X\in T_{p}M$. Тут ми ототожнюємо простір, дотичний до $T_{p}M$, з самим простором $T_{p}M$.

• Для груп Лі $G$ дотичний простір $T_{e}G$ у одиничному елементі $e$ можна ідентифікувати із простором лівоінваріантних векторних полів, тобто полів $X$ для яких $X_{gh}=(\operatorname {d} \!L_{g})X_{h},\,\forall g,h\in G,$ де $L_{g}$ позначає відображення множення зліва на елемент $g,$ тобто: $L_{g}(h)=gh.$ Для ненульового елемента $T_{e}G$ відновідне лівоінваріантне векторне поле є ненульовим у всіх точках і більш того для базису постору $T_{e}G$ відповідні лівоінваріантні векторні поля задають базис у кожній точці групи Лі. Потоки лівоінваріантних векторних полів із точки $e$ є гомоморфізмами із адитивної групи дійсних чисел у групу $G$ і є визначеними для всіх дійсних чисел. Якщо $X_{1},\ldots ,X_{n}$ є лівоінваріантними лінійно незалежними векторними полями, то на групі Лі $G$ можна задати афінну зв'язність як $\nabla _{X}X_{i}=0$ для всіх $X_{i}$ і всіх $X\in TM$ (тоді також $\nabla _{X}Y=0$ для всіх лівоінваріантних полів $Y$). Для цієї зв'язності геодезична лінія із точки $e$ у напрямку $X_{e}$ є рівною потоку лівоінваріантного векторного поля $X$ із точки $e$. Таким чином експоненційне відображення збігається із експонентою визначеною в теорії груп Лі.
• Важливим частковим випадком попереднього є група $GL(n,\mathbb {R} )$ невироджених квадратних матриць порядку $n$. Одиничним елементом цієї групи є одинична матриця і дотичний простір в цьому елементі є рівним $M(n,\mathbb {R} )$ — простору усіх квадратних матриць порядку $n$. Для $A\in M(n,\mathbb {R} )$ відповідний потік для лівоінваріантного поля задається як $\exp tA=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}A^{k}.$ Зокрема у точці $t=1$ значення потоку є рівним класичній експоненті матриці, що пояснює викоричтання цієї назви для аналогічних відображень у ширших класах груп Лі і диференційовних многовидів.

Приклади

• У випадку $\mathbb {R} ^{n}$експоненційне відображення є канонічною ідентифікацією дотичного простору $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ із $\mathbb {R} ^{n}$при якій початок координат дотичного простору переходить у точку p. А саме $\exp(V)=p+V.$
• Для одиничної сфери $S^{2}$ із «південним полюсом» у точці $p=(0,0,-1)$якщо на $T_{p}S^{2}$ввести полярні координати то кожен дотичний вектор можна записати як $V=r\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial x}}+r\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial y}}$ і розглядати експоненту як функцію $r$ і $\varphi$. Тоді можна записати у явному виді

$\exp _{p}(r,\varphi )=\left(\cos \varphi \cos(r-\pi /2),\sin \varphi \cos(r-\pi /2),\sin(r-\pi /2)\right).$

Зокрема образами кіл із радіусами ${\frac {\pi }{2}}+\pi n,\;n\in \mathbb {Z} ^{+}$є «екватор» кулі, образами кіл із радіусами $\pi +2\pi n,\;n\in \mathbb {Z} ^{+}$є «північний полюс», а образами кіл із радіусами $2\pi n,\;n\in \mathbb {Z} ^{+}$ є «південний полюс». У цьому випадку експоненційне відображення є визначеним для всієї дотичної площини.

• Натомість для $S^{2}\setminus (0,0,1)$, тобто одиничної кулі без «північного полюса», експоненційне відображення із дотичної площини у «південному полюсі» є визначеним лише у крузі $r<\pi .$

Див. також

• Експонента матриці
• Експонента (теорія груп Лі)
• Нормальна система координат

Література

• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J., ISBN 0442034105 (англ.)