Відкрити головне меню

Експоненційне відображення — узагальнення поняття експоненційної функції та експоненти матриці в диференціальній геометрії і зокрема рімановій геометрії.

Для многовида на якому задано деяку афінну зв'язність експоненціальне відображення діє з дотичного розшарування у многовид .

Експоненційне відображення зазвичай позначається , а його звуження на дотичний простір в точці позначається і називається експоненційним відображенням в точці .

ВизначенняРедагувати

Нехай   — деякий гладкий многовид на якому задана афінна зв'язність   і  . Для кожного вектора   існує єдина геодезична  , що виходить з точки   (тобто  ), така що  . Дана геодезична лінія визначена в деякому околі нуля в   і також з властивостей геодезичних ліній   там де значення в правій частині є визначеним. Зокрема   є визначеним в деякому околі нуля простору  .

Експоненційне відображення вектора   визначається як  . Воно є визначене загалом лише в деякому околі нуля дотичного простору.

Зокрема для ріманових многовидів існує канонічна афінна зв'язність (зв'язність Леві-Чивіти), що узгоджується з рімановою структурою многовида. Відображення визначене як вище для цієї конкретної зв'язності називається експоненційним відображенням для ріманових многовидів.

ВластивостіРедагувати

  •  .
 
Образ поверхні Землі при оберненому експоненційному відображенні до північного полюса.
  • Для кожної точки   існує таке число  , що експоненційне відображення   визначене для всіх векторів  , які задовольняють умову  
  • Більш того,   є дифеоморфізмом в деякому околі нуля в дотичному просторі   в деякий окіл точки   многовида  . Таким чином, в деякому околі точки   многовида   визначене обернене експоненційне відображення (що також називається логарифмом і позначається   ), що набуває значень в деякому околі нуля дотичного простору  .
  • Нехай тепер   , така що для   (де  ) відображення   є визначене. Тоді множина   є відкритою підмножиною в   і відображення   визначене на   буде теж диференційовним.
  • Диференціал експоненціального відображення в будь-якій точці   є тотожним лінійним оператором. Тобто
     
для будь-якого  . Тут ми ототожнюємо простір, дотичний до  , з самим простором  .
  • Для груп Лі з бі-інваріантною метрикою експоненційне відображення збігається експонентою визначеною в теорії груп Лі. Важливим частковим випадком є експонента матриці.

ПрикладиРедагувати

  • У випадку  експоненційне відображення є канонічною ідентифікацією дотичного простору   із  при якій початок координат дотичного простору переходить у точку p. А саме  
  • Для одиничної сфери   із «південним полюсом» у точці  якщо на  ввести полярні координати то кожен дотичний вектор можна записати як   і розглядати експоненту як функцію   і  . Тоді можна записати у явному виді
 
Зокрема образами кіл із радіусами  є «екватор» кулі, образами кіл із радіусами  є «північний полюс», а образами кіл із радіусами   є «південний полюс». У цьому випадку експоненційне відображення є визначеним для всієї дотичної площини.
  • Натомість для  , тобто одиничної кулі без «північного полюса», експоненційне відображення із дотичної площини у «південному полюсі» є визначеним лише у крузі  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105.  (англ.)