Зв'язність на головних розшаруваннях

В диференційній геометрії поняття зв'язності використовується для введення поняття паралельного перенесення, кривини і інших. Першочергово воно виникло для дотичних розшарувань диференційовних многовидів і згодом було узагальнено на інші типові об'єкти, зокрема головні розшарування особливо важливим прикладом яких для диференціальної геометрії є так звані реперні розшарування елементами яких є базиси відповідних дотичних просторів диференційовного многовиду.

Означення

Нехай $\pi \colon P\rightarrow M$ є головним розшаруванням зі структурною групою $G$. Для даної групи відповідно визначена права дія на розшаруванні

$R\colon P\times G\rightarrow P$.

Нехай, як звичайно, також ${\mathfrak {g}}$ позначає алгебру Лі групи $G$.

Для $p\in P$ дана дія визначає ін'єктивне лінійне відображення $R_{*p}:{\mathfrak {g}}\to T_{p}P.$ Елементи простору $T_{p}P$, що є образами при цьому відображенні називаються вертикальними векторами. Фактор-простір $T_{p}P$ по підпростору вертикальних векторів є ізоморфним до $T_{\pi (p)}M$. Зокрема відображення утворюють точну послідовність

$0\to {\mathfrak {g}}\;{\xrightarrow {R_{*p}}}\;T_{p}P\;{\xrightarrow {\pi _{*}}}\;T_{\pi (p)}M\to 0.$

Фактично задання зв'язності полягає у виборі доповнень в $T_{p}P$ до підпростору вертикальних векторів. Ці доповнення визначаються як ядра деякої ${\mathfrak {g}}$-значної 1-форми на розшаруванні, що для вертикальних векторів є оберненою до відображень $R_{*p}.$

Формально зв'язністю називається ${\mathfrak {g}}$-значна 1-форма $\omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$, для якої виконуються умови:

$R_{g}^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g^{-1})\circ \omega$ для всіх $g\in G$.

і

$\omega _{p}\circ R_{*p}X=X$ для всіх $X\in {\mathfrak {g}}$.

де $R_{g}:P\rightarrow P$ позначає множення справа на елемент $g\in G$, $\omega _{p}$ — обмеження диференційної форми в точці $p\in P$, $\operatorname {Ad} :G\rightarrow GL({\mathfrak {g}})$ — приєднане представлення групи Лі $\operatorname {Ad} (g)X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}.$

Підпростір векторів, що належать ядру $\omega _{p}$ називається простором горизонтальних векторів. Якщо позначити його як $H_{p}$, то справедливою є рівність

$(R_{p})_{*}H_{p}=H_{pg},$ для всіх $p\in P,\;g\in G.$

Дану рівність є еквівалентною першій умові означення зв'язності.

Властивості і приклади

На будь-якому тривіальному головному розшаруванню $M\times G$ існує зв'язність яку задає класична Форма Маурера — Картана, якщо її значення визначати на другому аргументі добутку.

Будь-яка опукла комбінація форм, що задають зв'язності теж є зв'язністю. Як наслідок з цієї і попередньої властивості на довільному головному розшаруванні над паракомпактним гладким многовидом можна ввести зв'язність. Для цього потрібно ввести зв'язності породжені формами Маурера — Картана на локально скінченному покритті локально тривіальними відкритими підмножинами і застосувати відповідне розбиття одиниці.

Нехай $\pi \colon P\rightarrow M$ і ${\bar {\pi }}\colon Q\rightarrow N$ — два диференційовні головні розшарування зі структурною групою $G$ і також $\varphi \colon P\rightarrow Q$ і $\psi \colon M\rightarrow N$ — диференційовні відображення для яких ${\bar {\pi }}\circ \varphi =\psi \circ \pi .$ Тоді для довільної зв'язності $\omega$ на $Q$ диференційна форма $\varphi ^{*}\omega$ є зв'язністю на $P.$

Кривина

Формою кривини для зв'язності $\omega$ називається 2-форма:

$\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].$

В формулі вище використані позначення

$[\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]$де справа $[\cdot ,\cdot ]$ позначає дужки Лі векторних полів

і зовнішня похідна $d\omega$:

$d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).$

Якщо форма кривини всюди рівна нулю, то зв'язність називається плоскою. На розшаруванні $\pi \colon P\rightarrow M$ можна ввести плоску зв'язність тоді і тільки тоді коли існує покриття $\{U_{\alpha }\}$ бази $M$ відкритими множинами для яких $\pi ^{-1}U_{\alpha }$ є тривіальними розшаруваннями і функції переходу $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ є константами.

Форма кривини є горизонтальною, тобто якщо хоча б один з її аргументів є вертикальним вектором, то в цій точці вона приймає нульове значення. Також форма кривини є $G$-еквіваріантною, тобто $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} (g^{-1})\circ \Omega .$

Рівність Б'янкі

Зовнішня похідна форми кривини рівна

$d\Omega =\left[\Omega ,\omega \right]$.

Паралельне перенесення

Для довільної гладкої кривої $\gamma :\left[0,1\right]\rightarrow M$ і точки $x\in \pi ^{-1}(\gamma (0))$ існує єдина крива ${\tilde {\gamma }}:\left[0,1\right]\rightarrow P$ для якої ${\tilde {\gamma }}_{x}(0)=x,$ $\pi ({\tilde {\gamma }}_{x})=\gamma$ і окрім того дотичний вектор до ${\tilde {\gamma }}$ є горизонтальним вектором у відповідній точці кривої.

Для довільної гладкої кривої $\gamma :\left[0,1\right]\rightarrow M$ можна визначити відображення

$P_{\gamma }(x)={\tilde {\gamma }}_{x}(1),\;\;x\in \pi ^{-1}(\gamma (0)).$

Відображення $P_{\gamma }:\pi ^{-1}(\gamma (0))\rightarrow \pi ^{-1}(\gamma (1))$, називається паралельним перенесенням вздовж кривої $\gamma$.

Для довільної точки $p\in P$ введені відображення визначають групу голономій як підкрупу групи дифеоморфізмів простору $F_{p}:=\pi ^{-1}(p)$ щодо паралельних перенесень вздовж замкнутих кривих з початком і кінцем в цій точці. А саме якщо $\gamma :\left[0,1\right]\rightarrow P$ гладка крива для якої $\gamma (0)=\gamma (1)=p$ і $x\in F_{p}$ то визначена як вище крива ${\tilde {\gamma }}$ для якої ${\tilde {\gamma }}(0)=x$ визначає відображення $f_{\gamma }(x):={\tilde {\gamma }}(1)$. Дане відображення є автоморфізмом простору $F_{p}.$ Група автоморфізмів $f_{\gamma }$ для всіх таких кривих $\gamma$ називається групою голономій.

Див. також

• Афінна зв'язність
• Головне розшарування
• Зв'язність на векторних розшаруваннях
• Форма Маурера — Картана

Посилання

• Manifold Atlas [Архівовано 13 червня 2017 у Wayback Machine.]

Література

• Dupont, Johan L. (1978), Curvature and Characteristic Classes, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-08663-3
• Kobayashi, Shoshichi (1957), Theory of Connections, Ann. Mat. Pura Appl., 43: 119—194, doi:10.1007/BF02411907
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operations in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, архів оригіналу (PDF) за 30 березня 2017, процитовано 16 березня 2017