Теорема Каратеодорі про ядро

Теорема Каратеодорі про ядро твердження у комплексному аналізі і геометричній теорії функцій доведене грецьким математиком Костянтином Каратеодорі у 1912 році. Теорема має багато застосувань у теорії однолистих функцій.

Твердження теореми

Нехай $f_{n}$ — послідовність функцій, що є голоморфними однолистими у одиничному крузі $\Delta =z\in \mathbb {C} ,\ |z|<1$ і також $f_{n}(0)=0$ і $\mathbb {R} \ni f'_{n}(0)>0.$ Позначимо $U_{n}=f_{n}(\Delta )$ — образи одиничного круга при дії цих функцій. Нехай $V_{n}$ позначає зв'язну компоненту, що містить 0 внутрішності перетину $\cap _{i=n}^{\infty }U_{n}.$ Ядром послідовності областей $U_{n}$ називається об'єднання усіх $V_{n}$ або точка $\{0\},$ якщо це об'єднання є порожньою множиною. Еквівалентно ядром називається найбільша область така, що кожна її замкнута підмножина є також підмножиною кожної $U_{n}$ починаючи з деякого n. За означенням послідовність областей $U_{n}$ збігається до свого ядра $U,$ якщо $U$ також є ядром будь-якої підпослідовності.

Теорема Каратеодорі стверджує, що послідовність $f_{n}$ збігається рівномірно на компактах до функції f, якщо і тільки якщо послідовність множин $U_{n}$ збігається до свого ядра і це ядро не є рівним всій комплексній площині. Якщо ядро є рівним $\{0\}$ то функція є константою рівною 0. В іншому випадку ядро U є зв'язаною відритою множиною, f є однолистою функцією і $U=f(\Delta ).$ Окрім того обернені функції $f_{n}^{-1}$ збігаються до функції $f^{-1}$ рівномірно на компактних підмножинах області $U.$

Приклади

• Якщо U_n є зростаючою послідовністю зв'язаних відкритих множин, що містять 0, тоді ядро є об'єднанням множин.
• Якщо U_n є спадною послідовність зв'язаних відкритих множин , що містять 0, тоді, якщо 0 є внутрішньою точкою U₁ ∩ U₂ ∩ ..., то послідовність збігається компоненти внутрішності , що містить 0. Якщо ж 0 не є внутрішньою точкою, послідовність збігається до $\{0\}$.

Доведення

Необхідність

Нехай послідовність $f_{n}$ збігається до функції $f$ в одиничному крузі $\Delta .$ Розглянемо спочатку випадок $f(z)\equiv 0$ і доведемо, що тоді ядро U є точкою $\{0\}$ і $U_{n}=\to \{0\}.$ Дійсно, в іншому випадку існує круг $|w|<\rho ,\ \rho >0,$ що належить всім областям $U_{n}$ і для функцій $f_{n}^{-1}$ згідно леми Шварца для кола $|w|<\rho ,$ отримуємо $|(f_{n}^{-1}(0))'|\leqslant {1 \over \rho },$ тобто $f_{n}'(0)\geqslant \rho .$

Але тоді згідно теореми Кебе про спотворення, застосованої до функції ${\frac {f_{n}(z)}{f_{n}'(0)}}$, в колі $|z|<1$ маємо: $\rho {\frac {|z|}{(1+|z|)^{2}}}\leqslant |f_{n}(z)|,$ отже, функції $f_{n}(z)$ не є збіжними до $f(z)\equiv 0.$ Оскільки ті ж міркування можна застосувати і до кожної підпослідовності областей, взятих з $U_{n}$ то $U_{n}\to U=\{0\}.$

Нехай тепер $f(z)\not \equiv 0.$. Тоді з оцінки теореми Кебе:

$|f_{n}'(0)|{|z| \over (1+|z|)^{2}}\leqslant |f_{n}(z)|\leqslant |f_{n}'(0)|{|z| \over (1-|z|)^{2}}$

випливає, що числа $f_{n}'(0)$ є обмеженими, а функції $f_{n}(z)$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга $|z|<1.$ Тому до функцій $f_{n}(z)$ можна застосувати теорему Віталі, згідно якої вони рівномірно збігаються на компактних підмножинах круга $|z|<1$ до функції $f(z),$ яка, згідно наслідку теореми Гурвіца буде однолистою в $|z|<1.$

Нехай функція $w=f(z)$ відображає одиничний круг на деяку область U, що містить w = 0. Покажемо, що будь-яка замкнута область $U^{*},$ що є підмножиною U, є також підмножиною всіх областей $U_{n},$ починаючи з деякого n. Нехай $\delta >0$ — відстань $U^{*}$ до границі U. Покриємо комплексну площину w послідовністю квадратів з довжинами сторін $\delta /2$ і розглянемо область $U_{*}$ утворену з усіх квадратів, що містять всередині або на границі точки з $U^{*}.$ Тоді $U^{*}\subset U_{*}\subset U.$ Нехай областям $U^{*}$ і $U_{*}$ через $w=f(z)$ відповідають у $|z|<1$ області $A^{*}$ і $A_{*},$ де також $A^{*}\subset A_{*}\subset \Delta .$ Якщо $\delta _{1}>0$ — відстань $U^{*}$ до границі області $U_{*},$ то на границі області $A_{*}$ маємо $|f(z)-w_{0}|\geqslant \delta _{1},$ яка б не була точка $w_{0}\in U^{*}.$ З іншого боку існує $N>0$ таке, що при $n>N$ на границі $A_{*}$ буде $|f_{n}(z)-f(z)|<\delta _{1}$ адже функції $f_{n}(z)$ рівномірно збігаються на компактних підмножинах одиничного круга. Отже, при кожному $n>N$ функція $f_{n}(z)-w_{0}$ згідно теореми Руше, має нуль в області $A_{*}.$ Як наслідок образ області $A_{*}$ при відображенні $f_{n}(z)$ при $n>N$ містить будь-яку точку $w\in U^{*}.$ Отже, кожна замкнута область, що лежить в U, а відповідно, і кожна замкнута підмножина області U, міститься в усіх областях $U_{n}$, починаючи з деякої. Покажемо, що U є найбільшою областю, що володіє цією властивістю.

Нехай $U'$ — будь-яка інша область, яка містить $w=0$ і володіє тією ж властивістю. Тоді функції $f_{n}^{-1}$ будуть визначені на будь-які замкнутій підмножині області $U'$ починаючи з деякого n і будуть на ньому рівномірно обмеженими. Тому із $f_{n}^{-1}$ можна вибрати підпослідовність, що рівномірно на компактних підмножинах сходиться в області $U'$ до голоморфної функції $F(w),\ F(0)=0,F'(0)\geqslant 0.$ Більше того $F'(0)=\lim _{n\to \infty }(f_{n}^{-1})'(0)=\lim _{n\to \infty }{1 \over f'(0)}>0.$ Тобто функція F не є константою і з теореми Гурвіца випливає, що вона є однолистою на $U'.$

Доведемо, що $F(w)$ є оберненою функцією до $f(z).$ Справді, візьмемо будь-яку точку $z_{0},\ |z_{0}|<1$ і нехай $f(z_{0})=w_{0}\in U.$ Нехай коло $|z-z_{0}|=\varepsilon ,\ \varepsilon >0$ цілком лежить в крузі $|z|<1.$ На ньому буде $|f(z)-w_{0}|>m,\ m>0.$ З іншого боку, при $k>K$ на $|z-z_{0}|=\varepsilon$ маємо $|f_{n_{k}}(z)-f(z)|<m.$ Згідно теореми Руше функції $f_{n_{k}}(z)-w_{0}$ при $k>K$ мають в $|z-z_{0}|<\varepsilon$ по нулю, які ми позначимо через $z_{k}.$ Маємо: $f_{n_{k}}(z_{k})=w_{0},\ z_{k}=f_{n_{k}}^{-1}(w_{0})$ для $k>K.$ Звідси при $k\to \infty$ отримуємо $z_{k}\to F(w_{0})$ і тому $F(w_{0})$ належить $|z-z_{0}|\leqslant \varepsilon .$ Зважаючи на довільність $\varepsilon >0$ отримуємо $F(w_{0})=z_{0}.$ Отже, ми показали, що з $w_{0}=f'(z_{0})$ випливає $F(w_{0})=z_{0},$ тобто що $F(w)$ є оберненою функцією для $f(z).$ Так як це міркування можна застосувати і для кожної збіжної підпослідовності функцій з $f_{n}^{-1},$ причому завжди граничною функцією буде функція $F(w)=f^{-1}(w)$ обернена до $f(z)$ то і сама послідовність функцій $f_{n}^{-1},$ сходиться в області $U'$ до функції $f^{-1}(w).$ Функція $F(w)$ відображає область $U'$ на деяку область A. Оскільки $|f_{n}^{-1}|\leqslant 1$ у $U_{n}$ то $|F(w)|\leqslant 1$ в $U'$, ​​тобто A є підмножиною одиничного круга.

Останнє дає можливість довести, що $U'\subset U.$ Дійсно, якщо $w_{0}\in U'$ і $z_{0}=F(w_{0})$ то $|z_{0}|<1$ і, отже, $w_{0}=f(z_{0}),$ тобто кожна точка області $U'$ належить і області $U.$ Таким чином U є найбільшою областю, яка містить z = 0 і володіє властивістю, що будь-яка її замкнута підмножина належить всім областям $U_{n},$ починаючи з деякої, тобто U є ядром для послідовності областей $U_{n}.$ Звідси ж випливає, що U має більше однієї граничної точки.

Якщо тепер взяти будь-яку підпослідовність областей $U_{n_{k}}$ і до відповідної підпослідовності функцій $f_{n_{k}}(z)$ збіжної до функції $f(z)$ застосувати попередні висновки, то отримаємо, що функція $f(z)$ відображає одиничний круг на ядро ​​цієї нової послідовності областей, яке, відповідно, збігається з $U.$. Це показує, що $U_{n}\to U,$ що завершує доведення необхідності одночасно додаткових висновки, зазначених в теоремі.

Достатність

Нехай тепер $U_{n}\to U$ і ядро ​​U є точкою $\{0\}$ або областю, що має більше однієї граничної точки. Нехай спершу $U=\{0\}$. Якби послідовність $f'_{n}(0)$ не збігалася до 0, то існувала б підпослідовність для якої $|f_{n_{k}}'(0)|>\varepsilon ,\ \varepsilon >0.$ Тоді у $|z|<1$ згідно теореми Кебе про спотворення:

$|f_{n_{k}}(z)|\geqslant |f_{n_{k}}'(0)|{|z| \over (1+|z|)^{2}}>{\varepsilon |z| \over (1+|z|)^{2}}$

отже, ядро ​​U не було б точкою. Але якщо $f'_{n}(0)\to 0,$ то з тієї ж теореми:

$|f_{n}(z)|\geqslant |f_{n}'(0)|{|z| \over (1-|z|)^{2}}$

і тому у $f_{n}(z)\to 0$ у $|z|<1$, що і доводить твердження у цьому випадку.

Розглянемо тепер випадок, коли ядро ​​U є областю, що має більше однієї граничної точки. Тоді числа $f_{n}'(0)$ мають бути обмеженими. В іншому випадку існує підпослідовність $f_{n_{k}}'(0)\to \infty$ і з нерівності:

$|f_{n_{k}}(z)|\geqslant |f_{n_{k}}'(0)|{|z| \over (1+|z|)^{2}}$

випливає, що образи круга $|z|<1$ при відображенні функціями $f_{n_{k}}(z),$${\displaystyle }$ починаючи з деякого k, містять будь-який заданий круг $|w|<R,$ що суперечить збіжності $U_{n}$ до $U.$ Із цього випливає, що функції $f_{n}(z)$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга $|z|<1.$ Припустимо тепер, що ця послідовність функцій не збігається точці $z_{0}.$ Тоді існують дві підпослідовності $f_{n_{k}}$ і $f_{n_{l}},$ що збігаються в $|z|<1$ до двох різних функцій $g(z)$ і $h(z).$

Якщо обидві ці функції не є тотожно рівними нулю, то за доведенням необхідності теореми, застосованого до послідовностей $f_{n_{k}}$ і $f_{n_{l}},$ отримаємо, що функції$g(z)$ і $h(z)$ відображають круг $|z|<1$ на ядро ​​послідовностей областей $U_{n_{k}}$ і $U_{n_{l}},$ тобто на область U. Оскільки $g(0)=0,\ g'(0)>0$ і $f(0)=0,\ f'(0)>0$ то з твердження єдиності у теоремі Рімана про відображення випливає, що $g(z)\equiv h(z),$ що суперечить попередньому.

Якщо ж одна з функцій $g(z)$ і $h(z)$ є тотожно рівною нулю, а інша ні, то застосовуючи доведення необхідності, робимо висновок, що одна з послідовностей областей $U_{n_{k}}$ і $U_{n_{l}}$ має ядром точку $\{0\},$ а інша — деяку область і тому послідовність областей $U_{n}$ не сходиться до ядра. З одержаного протиріччя випливає, що функції $f_{n}(z)$ повинні сходиться в крузі $|z|<1$ до скінченної функції і згідно теореми Віталі збіжність буде рівномірною на компактних підмножинах у $|z|<1.$

Література

• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд. — М., 1966. — С. 56 — 60.
• Carathéodory, C. (1912), Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten (PDF), Math. Ann., 72: 107—144, doi:10.1007/bf01456892
• Duren, P. L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Pommerenke, C. (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, т. 15, Vandenhoeck & Ruprecht