Теорема Каратеодорі про ядро

Теорема Каратеодорі про ядро твердження у комплексному аналізі і геометричній теорії функцій доведене грецьким математиком Костянтином Каратеодорі у 1912 році. Теорема має багато застосувань у теорії однолистих функцій.

Твердження теоремиРедагувати

Нехай   — послідовність функцій, що є голоморфними однолистими у одиничному крузі   і також   і   Позначимо  образи одиничного круга при дії цих функцій. Нехай   позначає зв'язну компоненту, що містить 0 внутрішності перетину   Ядром послідовності областей   називається об'єднання усіх   або точка   якщо це об'єднання є порожньою множиною. Еквівалентно ядром називається найбільша область така, що кожна її замкнута підмножина є також підмножиною кожної   починаючи з деякого n. За означенням послідовність областей   збігається до свого ядра   якщо   також є ядром будь-якої підпослідовності.

Теорема Каратеодорі стверджує, що послідовність   збігається рівномірно на компактах до функції f, якщо і тільки якщо послідовність множин   збігається до свого ядра і це ядро не є рівним всій комплексній площині. Якщо ядро є рівним   то функція є константою рівною 0. В іншому випадку ядро U є зв'язаною відритою множиною, f є однолистою функцією і   Окрім того обернені функції   збігаються до функції   рівномірно на компактних підмножинах області  

ПрикладиРедагувати

  • Якщо Un є зростаючою послідовністю зв'язаних відкритих множин, що містять 0, тоді ядро є об'єднанням множин.
  • Якщо Un є спадною послідовність зв'язаних відкритих множин , що містять 0, тоді, якщо 0 є внутрішньою точкою U1U2 ∩ ..., то послідовність збігається компоненти внутрішності , що містить 0. Якщо ж 0 не є внутрішньою точкою, послідовність збігається до  .

ДоведенняРедагувати

НеобхідністьРедагувати

Нехай послідовність   збігається до функції   в одиничному крузі   Розглянемо спочатку випадок   і доведемо, що тоді ядро U є точкою   і   Дійсно, в іншому випадку існує круг   що належить всім областям   і для функцій   згідно леми Шварца для кола   отримуємо   тобто  

Але тоді згідно теореми Кебе про спотворення, застосованої до функції  , в колі   маємо:   отже, функції   не є збіжними до   Оскільки ті ж міркування можна застосувати і до кожної підпослідовності областей, взятих з   то  

Нехай тепер  . Тоді з оцінки теореми Кебе:

 

випливає, що числа   є обмеженими, а функції   є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга   Тому до функцій   можна застосувати теорему Віталі, згідно якої вони рівномірно збігаються на компактних підмножинах круга   до функції   яка, згідно наслідку теореми Гурвіца буде однолистою в  

Нехай функція   відображає одиничний круг на деяку область U, що містить w = 0. Покажемо, що будь-яка замкнута область   що є підмножиною U, є також підмножиною всіх областей   починаючи з деякого n. Нехай   — відстань   до границі U. Покриємо комплексну площину w послідовністю квадратів з довжинами сторін   і розглянемо область   утворену з усіх квадратів, що містять всередині або на границі точки з   Тоді   Нехай областям   і   через   відповідають у   області   і   де також   Якщо   — відстань   до границі області   то на границі області   маємо   яка б не була точка   З іншого боку існує   таке, що при   на границі   буде   адже функції   рівномірно збігаються на компактних підмножинах одиничного круга. Отже, при кожному   функція   згідно теореми Руше, має нуль в області   Як наслідок образ області   при відображенні   при   містить будь-яку точку   Отже, кожна замкнута область, що лежить в U, а відповідно, і кожна замкнута підмножина області U, міститься в усіх областях  , починаючи з деякої. Покажемо, що U є найбільшою областю, що володіє цією властивістю.

Нехай   — будь-яка інша область, яка містить   і володіє тією ж властивістю. Тоді функції   будуть визначені на будь-які замкнутій підмножині області   починаючи з деякого n і будуть на ньому рівномірно обмеженими. Тому із   можна вибрати підпослідовність, що рівномірно на компактних підмножинах сходиться в області   до голоморфної функції   Більше того   Тобто функція F не є константою і з теореми Гурвіца випливає, що вона є однолистою на  

Доведемо, що   є оберненою функцією до   Справді, візьмемо будь-яку точку   і нехай   Нехай коло   цілком лежить в крузі   На ньому буде   З іншого боку, при   на   маємо   Згідно теореми Руше функції   при   мають в   по нулю, які ми позначимо через   Маємо:   для   Звідси при   отримуємо   і тому   належить   Зважаючи на довільність   отримуємо   Отже, ми показали, що з   випливає   тобто що   є оберненою функцією для   Так як це міркування можна застосувати і для кожної збіжної підпослідовності функцій з   причому завжди граничною функцією буде функція   обернена до   то і сама послідовність функцій   сходиться в області   до функції   Функція   відображає область   на деяку область A. Оскільки   у   то   в  , ​​тобто A є підмножиною одиничного круга.

Останнє дає можливість довести, що   Дійсно, якщо   і   то   і, отже,   тобто кожна точка області   належить і області   Таким чином U є найбільшою областю, яка містить z = 0 і володіє властивістю, що будь-яка її замкнута підмножина належить всім областям   починаючи з деякої, тобто U є ядром для послідовності областей   Звідси ж випливає, що U має більше однієї граничної точки.

Якщо тепер взяти будь-яку підпослідовність областей   і до відповідної підпослідовності функцій   збіжної до функції   застосувати попередні висновки, то отримаємо, що функція   відображає одиничний круг на ядро ​​цієї нової послідовності областей, яке, відповідно, збігається з  . Це показує, що   що завершує доведення необхідності одночасно додаткових висновки, зазначених в теоремі.

ДостатністьРедагувати

Нехай тепер   і ядро ​​U є точкою   або областю, що має більше однієї граничної точки. Нехай спершу  . Якби послідовність   не збігалася до 0, то існувала б підпослідовність для якої   Тоді у   згідно теореми Кебе про спотворення:

 

отже, ядро ​​U не було б точкою. Але якщо   то з тієї ж теореми:

 

і тому у   у  , що і доводить твердження у цьому випадку.

Розглянемо тепер випадок, коли ядро ​​U є областю, що має більше однієї граничної точки. Тоді числа   мають бути обмеженими. В іншому випадку існує підпослідовність   і з нерівності:

 

випливає, що образи круга   при відображенні функціями   починаючи з деякого k, містять будь-який заданий круг   що суперечить збіжності   до   Із цього випливає, що функції   є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга   Припустимо тепер, що ця послідовність функцій не збігається точці   Тоді існують дві підпослідовності   і   що збігаються в   до двох різних функцій   і  

Якщо обидві ці функції не є тотожно рівними нулю, то за доведенням необхідності теореми, застосованого до послідовностей   і   отримаємо, що функції  і   відображають круг   на ядро ​​послідовностей областей   і   тобто на область U. Оскільки   і   то з твердження єдиності у теоремі Рімана про відображення випливає, що   що суперечить попередньому.

Якщо ж одна з функцій   і   є тотожно рівною нулю, а інша ні, то застосовуючи доведення необхідності, робимо висновок, що одна з послідовностей областей   і   має ядром точку   а інша — деяку область і тому послідовність областей   не сходиться до ядра. З одержаного протиріччя випливає, що функції   повинні сходиться в крузі   до скінченної функції і згідно теореми Віталі збіжність буде рівномірною на компактних підмножинах у  

ЛітератураРедагувати

  • Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд. — М., 1966. — С. 56 — 60.
  • Carathéodory, C. (1912). Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten. Math. Ann. 72: 107–144. doi:10.1007/bf01456892. 
  • Duren, P. L. (1983). Univalent functions. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 259. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90795-5. 
  • Pommerenke, C. (1975). Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen. Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher 15. Vandenhoeck & Ruprecht.