Теорема Руше

Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції $f(z)$ і $g(z)$ голоморфні в однозв'язній області $G$ , а на контурі $\partial G$ також виконується строга нерівність $|f(z)-g(z)|<|f(z)|,\,\forall z\in \partial G$ , то в області $G$ функції $f$ і $g$ мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.

Доведення

З нерівності $|f(z)-g(z)|<|f(z)|\,$ випливає, що функції $f,g$ не мають нулів на $\partial G.$ Поділивши $|g(z)-f(z)|=|f(z)-g(z)|$ на $|f(z)|$ одержуємо нерівність $|F(z)-1|<1,\,\forall z\in \partial G,$ де $F(z)={\frac {g(z)}{f(z)}}.$

Звідси бачимо, що образ $\partial G'$ контуру $\partial G$ щодо відображення $w=F(z)$ лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці $w=1.$ Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція ${\frac {1}{w}}$ буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі $\partial G'$ і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:

\oint _{\partial G'}{\frac {1}{w}}\,dw=0.

Оскільки $w=F(z),\,dw=F'(z)dz,$ то звідси

\oint _{\partial G}{\frac {F'(z)}{F(z)}}\,dz=0.\quad (*)

З формули похідної від частки можна одержати:

{\frac {F'(z)}{F(z)}}={\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}

Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:

\oint _{\partial G}{\Bigg [}{\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}{\Bigg ]}\,dz=0

або

\oint _{\partial G}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{\partial G}{\frac {g'(z)}{g(z)}}\,dz\quad .

Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.

Див. також

Література

Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372