Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції і голоморфні в однозв'язній області , а на контурі також виконується строга нерівність , то в області функції і мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.

ДоведенняРедагувати

З нерівності   випливає, що функції   не мають нулів на   Поділивши   на   одержуємо нерівність   де  

Звідси бачимо, що образ   контуру   щодо відображення   лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці   Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція   буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі   і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:

 

Оскільки   то звідси

 

З формули похідної від частки можна одержати:

 

Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:

 

або

 

Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  • Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372