Якщо точка
z
0
{\displaystyle z_{0}}
n функції
f
{\displaystyle f}
f
(
z
)
=
(
z
−
z
0
)
n
ϕ
(
z
)
{\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{n}\phi (z)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
голоморфною в точці
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
′
(
z
)
=
(
z
−
z
0
)
n
ϕ
′
(
z
)
+
n
(
z
−
z
0
)
n
−
1
ϕ
(
z
)
{\displaystyle f'(z)=(z-z_{0})^{n}\phi '(z)+n(z-z_{0})^{n-1}\phi (z)}
Поділивши на f одержуємо:
f
′
(
z
)
f
(
z
)
=
(
z
−
z
0
)
n
ϕ
′
(
z
)
+
n
(
z
−
z
0
)
n
−
1
ϕ
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
ϕ
(
z
)
=
ϕ
′
(
z
)
ϕ
(
z
)
+
n
z
−
z
0
{\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={\frac {(z-z_{0})^{n}\phi '(z)+n(z-z_{0})^{n-1}\phi (z)}{(z-z_{0})^{n}\phi (z)}}={\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}}
Отже
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {f'(z) \over f(z)}}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
лишок в цій точці рівний:
R
e
s
(
f
′
(
z
)
f
(
z
)
,
z
0
)
=
lim
z
→
z
0
(
z
−
z
0
)
[
ϕ
′
(
z
)
ϕ
(
z
)
+
n
z
−
z
0
]
=
lim
z
→
z
0
[
(
z
−
z
0
)
ϕ
′
(
z
)
ϕ
(
z
)
+
n
]
=
0
+
n
=
n
,
{\displaystyle Res\left({f'(z) \over f(z)},z_{0}\right)=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})\left[{\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}\right]=\lim _{z\to z_{0}}\left[(z-z_{0}){\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+n\right]=0+n=n,}
що рівно порядку нуля.
Якщо точка
z
p
{\displaystyle z_{p}}
m , то
f
(
z
)
=
g
(
z
)
(
z
−
z
p
)
m
{\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-z_{p})^{m}}}}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
z
p
{\displaystyle z_{p}}
Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:
f
′
(
z
)
f
(
z
)
=
g
′
(
z
)
g
(
z
)
+
−
m
z
−
z
p
{\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={\frac {g'(z)}{g(z)}}+{\frac {-m}{z-z_{p}}}}
і лишок в цій точці буде рівним
−
m
.
{\displaystyle -m.}
Нехай тепер
z
0
1
,
…
,
z
0
r
{\displaystyle z_{0}^{1},\ldots ,z_{0}^{r}}
f порядків
n
1
,
…
,
n
r
{\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}
z
p
1
,
…
,
z
p
s
{\displaystyle z_{p}^{1},\ldots ,z_{p}^{s}}
f порядків
m
1
,
…
,
m
s
.
{\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{s}.}
f
′
(
z
)
f
(
z
)
,
{\displaystyle {f'(z) \over f(z)},}
n
1
,
…
,
n
r
{\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}
−
m
1
,
…
,
−
m
s
.
{\displaystyle -m_{1},\ldots ,-m_{s}.}
основною теоремою про лишки звідси одержується:
∮
C
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
N
−
P
)
{\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}
Дьедонне Ж. Основы современного анализа , — М. Мир, 1964
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1
Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications , Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0-7637-1437-2 
![{\displaystyle Res\left({f'(z) \over f(z)},z_{0}\right)=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})\left[{\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}\right]=\lim _{z\to z_{0}}\left[(z-z_{0}){\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+n\right]=0+n=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08f59b9f18d74393a64dc04defb0785c894cf9c)
