Принцип аргументу

Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.

Твердження

Нехай C — простий замкнутий контур. Нехай функція f мероморфна в області обмеженій і не має на C ні нулів ні полюсів. Тоді справедлива формула:

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

де $N$ і $P$ — кількість нулів і полюсів функції $f$ в області обмеженій $C$, з врахуванням кратності.

Доведення

Якщо точка $z_{0}$ є нулем порядку n функції $f$ тоді можна записати $f(z)=(z-z_{0})^{n}\phi (z)$, і функція $\phi$ є голоморфною в точці $z_{0}$ і не дорівнює в ній нулю. Продиференціювавши одержимо

$f'(z)=(z-z_{0})^{n}\phi '(z)+n(z-z_{0})^{n-1}\phi (z)$

Поділивши на f одержуємо:

${f'(z) \over f(z)}={\frac {(z-z_{0})^{n}\phi '(z)+n(z-z_{0})^{n-1}\phi (z)}{(z-z_{0})^{n}\phi (z)}}={\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}$.

Отже ${f'(z) \over f(z)}$ має простий полюс в точці $z_{0}$ і лишок в цій точці рівний:

$Res\left({f'(z) \over f(z)},z_{0}\right)=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})\left[{\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+{\frac {n}{z-z_{0}}}\right]=\lim _{z\to z_{0}}\left[(z-z_{0}){\frac {\phi '(z)}{\phi (z)}}+n\right]=0+n=n,$

що рівно порядку нуля.

Якщо точка $z_{p}$ є полюсом порядку m, то $f(z)={\frac {g(z)}{(z-z_{p})^{m}}}$ де функція $g(z)$ є голоморфною в точці $z_{p}$ і не дорівнює в ній нулю.

Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:

${f'(z) \over f(z)}={\frac {g'(z)}{g(z)}}+{\frac {-m}{z-z_{p}}}$

і лишок в цій точці буде рівним $-m.$

Нехай тепер $z_{0}^{1},\ldots ,z_{0}^{r}$ — нулі функції f порядків $n_{1},\ldots ,n_{r}$ і $z_{p}^{1},\ldots ,z_{p}^{s}$ — полюси функції f порядків $m_{1},\ldots ,m_{s}.$ Згідно з попереднім усі ці точки є простими полюсами функції ${f'(z) \over f(z)},$ лишки в яких рівні відповідно $n_{1},\ldots ,n_{r}$ і $-m_{1},\ldots ,-m_{s}.$ Згідно з основною теоремою про лишки звідси одержується:

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

Див. також

• Основна теорема про лишки
• Теорема Руше
• Теорема Гурвіца (комплексний аналіз)

Література

• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.
• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis (International Series in Pure and Applied Mathematics). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0-7637-1437-2