Принцип збереження області

Принцип збереження області — важливе твердження у комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій.

Згідно з цією теоремою, якщо функція $f$ є голоморфною в області (зв'язаній відкритій підмножині) $D$ і не є константою, то і образ $D^{*}=f(D)$ також є областю. Зокрема голоморфна функція на області є відкритим відображенням.

Принцип збереження області встановлює значну відмінність між голоморфністю і дійсною диференційовністю. На дійсній прямій, наприклад, диференційовна функція f(x) = x² не є відкритим відображенням оскільки образом відкритої множини (−1, 1) є множина [0, 1), що не є відкритою. Іншим прикладом є функція комплексної змінної $z\to z{\bar {z}}$, що є $\mathbb {R}$-диференційовною нескінченну кількість разів. Вона не є відкритим відображенням оскільки образом $\mathbb {C}$ є підмножина дійсних чисел $[0,\infty )$, що не є відкритою.

Доведення

Потрібно довести, що множина $D^{*}$ є зв'язною і відкритою. Нехай $w_{1}$ і $w_{2}$ — дві довільні точки $D^{*}$ і $z_{1},z_{2}$ — деякі прообрази $w_{1}$ і $w_{2}$ в $D$. Так як множина $D$ є лінійно зв'язною, то існує крива $\gamma :[0,1]\to D$, що з'єднує точки $z_{1}$ і $z_{2}$. Оскільки $f$ є неперервною функцією образ $\gamma ^{*}=f\circ \gamma$ буде неперервною кривою, що з'єднує точки $w_{1}$ і $w_{2}$. Всі точки цієї кривої, очевидно належать $D^{*}$. Таким чином, множина $D^{*}$ є зв'язною.

Нехай $w_{0}$ — довільна точка $D^{*}$ і $z_{0}$ — один із її прообразів в $D$. Так як $D$ є відкритою множиною, то існує круг $\{|z-z_{0}|<r\}\subset D$. Зменшуючи в разі потреби $r$, можна вважати, що $\{|z-z_{0}|\leqslant r\}\subset D$ не містить інших прообразів $w_{0}$, крім $z_{0}$ (оскільки $f$ не є константою, то прообрази $w_{0}$ є ізольованими точками в $D$). Позначимо через $\gamma =\{|z-z_{0}|=r\}$ коло, що обмежує круг і $\mu =\min _{z\in \gamma }|f(z)-w_{0}|$.

Очевидно, $\mu >0$, бо неперервна функція $|f(z)-w_{0}|$ досягає на $\gamma$ свого мінімального значення, і якби було $\mu =0$, то на колі $\gamma$ існував би прообраз точки $w_{0}$ всупереч побудови кола.

Доведемо, що круг $\{|w-w_{0}|<\mu \}\subset D^{*}$. Нехай $w_{1}$ — довільна точка цього круга, тобто $|w_{1}-w_{0}|<\mu$. Тоді $f(z)-w_{1}=f(z)-w_{0}+(w_{0}-w_{1})$, до того ж на $\gamma$ виконується нерівність $|f(z)-w_{0}|\geqslant \mu$. Оскільки $|w_{1}-w_{0}|<\mu$ то згідно теореми Руше функція $f(z)-w_{1}$ має всередині круга обмеженого $\gamma$ стільки ж нулів, скільки їх має там функція $f(z)-w_{0}$ тобто принаймні один нуль. Отже, функція $f$ всередині круга обмеженого $\gamma$ приймає значення $w_{1}$ тобто $w_{1}\in D^{*}$. Оскільки $w_{1}$ — довільна точка круга $\{|w-w_{0}|<\mu \}$, то весь цей круг належить $D^{*}$ і тому множина $D^{*}$ є відкритою.

Функції багатьох змінних

Теорема легко узагальнюється на випадок голоморфних функцій багатьох комплексних змінних. У цьому випадку голоморфна функція на області (зв'язаній відкритій підмножині) $D$, що не є константою теж є відкритим відображенням.

Доведення легко зводиться до випадку однієї змінної. Нехай $w=f(z)$ де $w\in \mathbb {C} ,\;z\in D\subset \mathbb {C} ^{n}$. Оскільки $D$ є відкритою підмножиною, то існує відкрита куля деякого радіуса $r$, така що $B(z,r)\subset D$. Оскільки функція не є константою то існує точка $z_{1}\in D$, така що $f(z)\neq f(z_{1})$. Тоді функція $g(t):=f((1-t)z+tz_{1})$ є голоморфною функцією однієї змінної, що не є константою і її обмеження на області є відкритими відображеннями. Зокрема образом точок, що належать перетину кулі $B(z,r)$ із точками вказаної прямої є відкрита множина,що є підмножиною $f(D)$. Оскільки точки $z,w$ були вибрані довільно це завершує доведення теореми.

Узагальнення

Принцип збереження області також є справедливим для голоморфних функцій на довільному комплексному многовиді: множина значень голоморфної функції на зв'язаному комплексному многовиді є областю на комплексній площині.

Принцип збереження області також виконується для голоморфних відображень комплексних многовидів у ріманові поверхні. Натомість голоморфні відображення у комплексні многовиди $Y$ розмірності більше 1 в загальному не є відкритими: якщо $f$ не є константою, але, скажімо, ранг $f$ (тобто ранг матриці Якобі відображення у даній точці) є всюди меншим $\dim Y$, то образ відображення взагалі не має внутрішніх точок.

Відкритість може порушуватися і в разі, коли $\operatorname {rank} f<\dim Y$ на множинах малої розмірності. Наприклад, при відображенні простору $\mathbb {C} ^{2}$ в себе заданому як $F(z_{1},z_{2})=(z_{1},z_{1}z_{2})$ образом відображення буде невідкрита множина $\mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{1}=0,z_{2}\neq 0\}$.

Для виконання принципу збереження області для голоморфних відображень, умову, що $f$ не є константою слід замінити більш сильними вимогами, наприклад умовою, що розмірність точок в яких $\operatorname {rank} f<\dim Y$ є рівною нулю.

Див. також

• Теорема Руше

Література

• Шабат, Б. В. (1976), Введение в комплексный анализ, ч. I, «Наука»
• Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983 ISBN 978-3110041507
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310, Zbl 776.32001.