Лема Шварца

Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.

Формулювання

Нехай $\Delta =\{z:|z|<1\}$ — одиничний круг на комплексній площині $\mathbb {C}$. Нехай функція $f$ голоморфна в $\Delta$ і задовольняє умови:

1. $f(0)=0$;
2. $|f(z)|\leqslant 1,\,\forall z\in \Delta$.

Тоді:

1. $|f(z)|\leqslant |z|,\,\forall z\in \Delta$;
2. $|f'(0)|\leqslant 1$.

Окрім того, якщо $|f(z)|=|z|$, для деякого ненульового $z\in \Delta$ або $|f'(0)|=1$ тоді $f(z)=\alpha z$ для деякого комплексного числа $\alpha$ для якого $|\alpha |=1$.

Доведення

Розглянемо функцію $g(z)={\frac {f(z)}{z}}$. Ця функція є голоморфною на множині $\Delta \setminus 0$.

Маємо також $\lim _{z\rightarrow 0}g(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)}{z}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}=f'(0)\,$.

Визначивши $g(0)=f'(0)$, отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг $\Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|<1-\varepsilon \}$ для довільного $0<\varepsilon \ll 1$. На границі цього круга, $|g(z)|\leqslant {\frac {1}{(1-\varepsilon )}}$. З принципу максимуму модуля випливає, що $\Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|\leqslant 1-\varepsilon \}$ також для всіх $z\in \Delta _{\varepsilon }$. Якщо тепер направити $\varepsilon \rightarrow 0$ то в результаті одержуємо $|g(z)|\leqslant 1$ для всіх $z\in \Delta$. Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності $|f(z)|\leqslant |z|$ для $z\in \Delta \setminus 0$ (для $z=0,\,|f(z)|=0=|z|,$ так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення $g(0)=f'(0)$ тому $|f'(0)|=|g(0)|\leqslant 1$.

Якщо тепер для деякого ненульового $z\in \Delta$ виконується $|f(z)|=|z|$ то $|g(z)|=1.$ Якщо $|f'(0)|=1$ тоді $g(0)=1.$ Оскільки $|g(z)|\leqslant 1$ для всіх $z\in \Delta$ то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція $g(z)$ є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу $\alpha$ то маємо ${\frac {f(z)}{z}}=g(z)\equiv \alpha ,$ звідки $f(z)=\alpha z.$

Див. також

• Принцип максимуму модуля
• Теорема Бореля — Каратеодорі

Література

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9