Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.

ФормулюванняРедагувати

Нехай   — одиничний круг на комплексній площині  . Нехай функція   голоморфна в   і задовольняє умови:

  1.  ;
  2.  .

Тоді:

  1.  ;
  2.  .

Окрім того, якщо  , для деякого ненульового   або   тоді   для деякого комплексного числа   для якого  .

ДоведенняРедагувати

Розглянемо функцію  . Ця функція є голоморфною на множині  .

Маємо також  .

Визначивши  , отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг   для довільного  . На границі цього круга,  . З принципу максимуму модуля випливає, що   також для всіх  . Якщо тепер направити   то в результаті одержуємо   для всіх  . Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності   для   (для   так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення   тому  .

Якщо тепер для деякого ненульового   виконується   то   Якщо   тоді   Оскільки   для всіх   то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція   є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу   то маємо   звідки  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9