Теорема Бореля — Каратеодорі

У комплексному аналізі, теорема Бореля — Каратеодорі стверджує, що довільна голоморфна функція може бути обмеженою своєю дійсною частиною. Теорема є застосуванням принципа максимуму модуля. Названа на честь Еміля Бореля і Костянтина Каратеодорі.

Твердження теоремиРедагувати

Нехай   — функція, що є гомоморфною на замкнутому крузі радіуса R з центром в початку координат. Припустимо, що r < R. Тоді виконується нерівність:

 

Норма у лівій частині позначає максимум модуля f у замкнутому крузі:

 

(остання рівність випливає із принципу максимуму модуля).

ДоведенняРедагувати

Визначимо A як

 

Нехай спершу f(0) = 0. Оскільки Re f є гармонічною функцією, можна вважати A>0 і   f є відображенням у півплощину P зліва від прямої x=A. Для доведення знайдемо відображення півплощини в круг, застосуємо лему Шварца після чого отримаємо нерівність.

Відображення   переводить P у стандартну ліву півплощину. Відображення   переводить стандартну ліву півплощину у круг радіуса R з центром у початку координат. Композиція цих відображень і є необхідним відображенням:

 

Згідно леми Шварца застосованої до композиції цього відображення і f, маємо

 

Якщо |z| ≤ r то

 

отож

 ,

що і треба було довести.

В загальному випадку, попереднє можна застосувати до функції f(z)-f(0):

 

і після перестановок отримуємо необхідний результат.

Узагальнення для похідних функціїРедагувати

Якщо в умовах теореми також додатково задати умову  , то нерівності подібні до нерівностей у попередній теоремі задовольняють також похідні функції. А саме при цих умовах і при позначеннях як вище для всіх  :

 

ДоведенняРедагувати

Якщо   то з нерівності Бореля — Каратеодорі одержуємо нерівність:

 

Для всіх   для яких   згідно інтегральної формули Коші

 .

Оскільки   тому з першої нерівності у цьому доведенні:

 

Тоді з виразу інтегральної формули Коші:

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
  • Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.
  • Viola Carlo (2016). An Introduction to Special Functions. UNITEXT 102 (вид. 1). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-41344-0.