Відкрити головне меню

Симплектична матриця — в лінійній алгебрі квадратна матриця, порядок якої є парним числом, що є матрицею лінійного перетворення на симплектичному просторі, що зберігає симплектичну форму. Відповідне лінійне перетворення теж називається симплектичним.

Симплектичні перетворення і матриці є важливими в симплектичній геометрії, а також теорії груп Лі. Група всіх симплектичних матриць заданого порядку утворюють групу Лі, що називається симплектичною групою.

ОзначенняРедагувати

Нехай  симплектичний векторний простір і   — його симплектична форма, тобто невироджена кососиметрична білінійна форма. Лінійне перетвореня   називається симплектичним, якщо   Матриця   називається симплектичною, якщо вона є матрицею деякого симплектичного перетворення.

На просторі   завжди можна вибрати базис, в якому   де   і   — координати веторів   і   у цьому базисі. Якщо ввести на   скалярний добуток   при тих же позначеннях, то отримується рівність:

  де  блочна матриця виду
 

Визначник матриці   рівний 1 і для неї справедливими є рівності  

З цих властивостей можна отримати еквівалентне означення симплектичної матриці: матриця називається симплектичною, якщо для неї виконується рівність:

 

Для комплексних матриць зустрічаються різні означення симплектичних матриць, зокрема означення може бути таким, як і в попередній формулі в дійсному випадку або замість транспонування може використовуватися ермітове спряження  

ВластивостіРедагувати

  • З формули   і властивостей визначника відразу отримується результат, що   Насправді для всіх симплектичних матриць  
  • Якщо M матриця розмірності 2n×2n то її можна записати у виді
 

де A, B, C, D є матрицями розмірності n×n. Умова симплектичності M є еквівалентною умовам

 
 
 
  • З попереднього випливає, що квадратна матриця порядку 2 є симплектичною тоді і тільки тоді коли її визначник рівний 1.
  • В попередніх позначеннях обернена матриця рівна
 
  •  
  • При заміні базису, що задається матрицею  , відбувається перетворення матриці
 
і нові симплектичні матриці пов'язані зі старими через перетворення.
 
  • Для додатноозначеної дійсної симплектичної матриці M існує матриця U у множині U(2n,R), для якої
 
де діагональні елементи матриці D є власними значеннями матриці M.[1]
 
  • Довільна дійсна симплектична матриця є добутком трьох матриць:
 
such де O і O' є одночасно симплектичними і ортогональними і D є додатноозначеною і діагональною.[3].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ПосиланняРедагувати