Пінг-понг лема

У математиці пінг-понг лема (або лема про настільний теніс) — це будь-яке з математичних тверджень, які стверджують, що декілька елементів у групі, які діють на деякій множині вільно, породжують вільну підгрупу цієї групи.

Історія

Пінг-понг аргументація бере свої витоки з кінця 19 століття і зазвичай приписується Феліксу Кляйну, який використовував її при дослідженні підгруп кляйнівських груп, тобто ізометричних дискретних груп тривимірного гіперболічного простору, або, що еквівалентно, перетворень Мебіуса сфери Рімана. Пінг-понг лема була ключовим інструментом Жака Тітса у роботі 1972 року, яка містить доведення такого відомого нині результату як альтернатива Тітса. Результат стверджує, що скінченнопороджена лінійна група або є майже розв'язною, або містить вільну підгрупу рангу 2. Пінг-понг лема та її варіації широко використовуються в геометричній топології і геометричній теорії груп.

Сучасні версії пінг-понг леми можна знайти в багатьох книжках, зокрема, Ліндон & Шупп, де ла Гарп, Брідсон & Гефлінгер.

Формальні твердження

Пінг-понг лема для декількох підгруп

Ця версія пінг-понг леми стверджує, що декілька підгруп групи, діючих на множині вільно, породжують вільний добуток. Нижченаведене твердження з'явилося в роботі Олійника та Сущанського, а його доведення в роботі де ла Гарпи.

Нехай $G$ — група, що діє на множині $X$, і нехай $H_{1},H_{2},\dots ,H_{k}$, де $k\geq 2$, — підгрупи групи $G$ такі, що хоча б одна із цих підгруп має порядок більший ніж 2. Припустимо, що існують попарно неперетинні непорожні підмножини $X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}$ із множини $X$, які задовольняють наступну умову:

• для будь-якого $i\neq s$ і для будь-якого $h\in H_{i}$, $h\neq 1$ маємо: $h(X_{s})\subseteq X_{i}$.

Тоді

$\langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.$

${\displaystyle }$

Доведення

З означення вільного добутку випливає, що достатньо буде перевірити лише те, чи задане непорожнє зведене слово представляє собою нетривіальний елемент із групи $G$. Нехай $w$ буде таким словом, довжина якого $m\geq 2$, і нехай

$w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},$

де $w_{i}\in H_{\alpha i}$ для деяких $\alpha _{i}\in \{1,\dots ,k\}$. Оскільки слово $w$ є зведеним, то $\alpha \neq \alpha _{i+1}$ для будь-яких $i=1,\dots ,m-1$ і кожне $w_{i}$ відрізняється від нейтрального елемента з підгрупи $H_{\alpha _{i}}$. Після цього діємо словом $w$ на елемент однієї із множин $X_{i}$. Оскільки припустили, що хоча б одна підгрупа $H_{i}$ має порядок щонайменше 3, то без втрати загальності можна припустити, що $H_{i}$ має порядок щонайменше 3. Спочатку робимо припущення, що $\alpha _{1}$ і $\alpha _{m}$ одночасно дорівнюють 1 (із чого випливає, що $m\geq 3$). Тепер розглянемо слово $w$, яке діє на множину $X_{2}$. Отримуємо наступний ланцюжок обмежень:

$w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha m-1})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha 2})\subseteq X_{1}.$

За припущенням різні $X_{i}$ є неперетинними, тому робимо висновок, що слово $w$ діє нетривіально на деякий елемент підмножини $X_{2}$. Таким чином, слово $w$ представляє нетривіальний елемент групи $G$.

Для завершення доведення розглянемо три випадки:

• якщо $\alpha _{1}=1$, $a_{m}\neq 1$, тоді нехай $h\in H_{1}\backslash {\big \{}w_{1}^{-1},1{\big \}}$ (таке $h$ існує, оскільки за припущенням $H_{1}$ має порядок щонайменше 3);
• якщо $\alpha _{1}\neq 1$, $\alpha _{m}=1$, тоді нехай $h\in H_{1}\backslash \{w_{m},1\}$;
• і якщо $\alpha _{1}\neq 1$, $\alpha _{m}\neq 1$, тоді нехай $h\in H_{1}\backslash \{1\}$.

У кожному з випадків слово $hwh^{-1}$ після зведення стає зменшеним словом, у якому перша і остання літера з підгрупи $H_{1}$. Отже, слово $hwh^{-1}$ представляє нетривіальний елемент із групи $G$, так само і слово $w$. Це і доводить наше твердження.

Пінг-понг лема для циклічних підгруп

Нехай $G$ — група, що діє на множині $X$. Нехай $a_{1},\dots ,a_{k}$, де $k\geq 2$, — елементи групи $G$ нескінченного порядку. Припустимо, що існують неперетинні непорожні підмножини

$X_{1}^{+},\dots ,X_{k}^{+}\quad {\text{і}}\quad X_{1}^{-},\dots ,X_{k}^{-}$

множини $X$, для яких виконуються наступні умови:

• $a_{i}(X-X_{i}^{-})\subseteq X_{i}^{+}$, $i=1,\dots ,k,$
• $a_{i}^{-1}(X-X_{i}^{+})\subseteq X_{i}^{-}$, $i=1,\dots ,k.$

Тоді підгрупа $H=\langle a_{1},\dots ,a_{k}\rangle \leq G$, що породжена елементами $a_{1},\dots ,a_{k}$, є вільною з вільним базисом $\{a_{1},\dots ,a_{k}\}.$

Доведення

Це твердження є наслідком пінг-понг леми для загальних підгруп, якщо покладемо $X_{i}=X_{i}^{+}\cup X_{i}^{-}=$ і $H_{i}=\langle a_{i}\rangle .$

Приклади

Приклад спеціальної лінійної групи

За допомогою пінг-понг леми можна довести, що підгрупа $H=\langle A,B\rangle \leq {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })$, породжена матрицями

$A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\quad$ і $\quad B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}},$

є вільною групою і має ранг 2.

Доведення

Дійсно, нехай $H_{1}=\langle A\rangle$ і $H_{2}=\langle B\rangle$ — циклічні підгрупи групи ${\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })$ породжені матрицями $A$ і $B$ відповідно. Неважко перевірити, що $A$ і $B$ є елементами нескінченного порядку групи ${\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })$ і те, що

$H_{1}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\colon n\in {\mathbb {Z} }\end{Bmatrix}}$

і

$H_{2}=\{B^{n}\,|\,n\in {\mathbb {Z} }\}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\colon n\in {\mathbb {Z} }\end{Bmatrix}}.$

Розглянемо дію групи ${\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })$ на ${\mathbb {R} }^{2}$ за допомогою лінійних перетворень. Покладемо

$X_{1}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R} }^{2}\colon |x|>|y|\end{Bmatrix}}$

і

$X_{2}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R} }^{2}\colon |x|<|y|\end{Bmatrix}}.$

Неважко перевірити, використовуючи наведений вище опис підгрупи $H_{1}$ і $H_{2}$, що для кожного нетривіального $g\in H_{1}$ отримуємо $g(X_{2})\subseteq X_{1}$ і $g(X_{1})\subseteq X_{2}$ для кожного нетривіального $g\in H_{2}$. Використовуючи наведену вище пінг-понг лему для двох циклічних підгруп, робимо висновок, що $H=H_{1}*H_{2}$. Оскільки підгрупи $H_{1}$ і $H_{2}$ є нескінченно циклічними, то звідси випливає, що підгрупа $H$ є вільною групою рангу 2.

Приклад словесно-гіперблочної групи

Нехай $G$ — словесно-гіперболічна група, яка є групою без кручення, тобто, не має нетотожних елементів скінченного порядку. Нехай $g,h\in G$ — два некомутативних елемента, тобто таких, що $gh\neq hg.$ Тоді існує таке $M\geq 1$, що для будь-яких натуральних $n\geq M$, $m\geq M$ підгрупа $H\langle g^{n},h^{m}\rangle \leq G$ є вільною групою рангу 2.

Схема доведення

Дія групи $G$ на її гіперболічній границі $\partial G$ є гомеоморфізмом. Відомо, що, якщо $a$ в групі $G$ є не тотожнім елементом, то $a$ має принаймні дві різні нерухомі точки — $a^{\infty }$ і $a^{-\infty }$, які належать границі $\partial G$. Відповідно $a^{\infty }$ є притягально нерухомою точкою точкою, а $a^{-\infty }$ — відштовхувально нерухомою точкою.

Оскільки елементи $g$ і $h$ не комутують, то з основних властивостей словесно-гіперболічної групи випливає, що $g^{\infty }$, $g^{-\infty }$, $h^{\infty }$ і $h^{-\infty }$є чотирма різними точками границі $\partial G.$ Вибираємо неперетинні околи $U_{+}$, $U_{-}$, $V_{+}$ і $V_{-}$ відповідно для $g^{\infty }$, $g^{-\infty }$, $h^{\infty }$ і $h^{-\infty }$ на границі $\partial G$. Тоді з властивостей притягувальних/відштовхувальних нерухомих точок елементів $g$ і $h$ випливає, що існує таке $M\geq 1$, що для будь-яких натуральних $n\geq M$, $m\geq M$:

• $g^{n}(\partial G-U_{-})\subseteq U_{+},$
• $g^{-n}(\partial G-U_{+})\subseteq U_{-},$
• $h^{m}(\partial G-V_{-})\subseteq V_{+},$
• $h^{-m}(\partial G-V_{+})\subseteq V_{-}.$

З пінг-понг леми випливає, що підгрупа $H=\langle g^{n},h^{m}\rangle \leq G$ є вільною підгрупою рангу 2.

Застосування пінг-понг леми

• Пінг-понг лема використовується в кляйнівських групах для дослідження так званих підгруп Шоткі. У контексті кляйнівських груп пінг-понг лему можна використати для того, щоб показати, що особлива група ізометрії гіперболічного тривимірного простору не лише вільна, а також цілком розривна і геометрично скінченна.
• Аналогічні аргументи типу Шоткі широко використовуються в геометричній теорії груп, особливо для підгруп словесно-гіперболічних груп і для груп автоморфізмів дерев.
• Пінг-понг лема також використовується для дослідження підгруп типу Шоткі груп класів відображень поверхонь Рімана, де множина, на якій діє група класів відображень, є границею Терстона простору Тайхмюллера. Аналогічний аргумент також використовується при дослідженні підгруп групи зовнішніх ізоморфізмів вільної групи.
• Одним із найвідоміших застосувань пінг-понг леми є доведення Жака Тітса так званої альтернатива Тітса для лінійних груп. (Дивись для огляду доведення Тітса і пояснення використаних ідей, включаючи використання пінг-понг леми).
• Існують узагальнення пінг-понг леми, що породжують не лише вільний добуток, але і також вільні добутки з амальгамацією і HNN розширення.Ці узагальнення використовуються зазвичай для доведення комбінаційної теореми Маскіта для кляйнівських груп.
• Також існують версії пінг-понг леми, які гарантують, що декілька елементів групи породжують вільну напівгрупу. Такі версії використовують як для узагальненої дії групи на множині, так і для конкретних типів дій, наприклад, в контексті лінійних груп, дій груп на дерева, тощо.

Див. також

• Вільна група
• Вільний добуток
• Кляйнівська група
• Альтернатива Тітса
• Словесно-гіперболічна група
• Група Шоткі