У математиці пінг-понг лема (або лема про настільний теніс) — це будь-яке з математичних тверджень, які стверджують, що декілька елементів у групі, які діють на деякій множині вільно, породжують вільну підгрупу цієї групи.

ІсторіяРедагувати

Пінг-понг аргументація бере свої витоки з кінця 19 століття і зазвичай приписується [1] Феліксу Кляйну, який використовував її при дослідженні підгруп кляйнівських груп, тобто ізометричних дискретних груп тривимірного гіперболічного простору, або, що еквівалентно, перетворень Мебіуса сфери Рімана. Пінг-понг лема була ключовим інструментом Жака Тітса[en] у роботі[2] 1972 року, яка містить доведення такого відомого нині результату як альтернатива Тітса. Результат стверджує, що скінченнопороджена[en] лінійна група або є майже розв'язною, або містить вільну підгрупу рангу 2. Пінг-понг лема та її варіації широко використовуються в геометричній топології[en] і геометричній теорії груп.

Сучасні версії пінг-понг леми можна знайти в багатьох книжках, зокрема, Ліндон & Шупп,[3] де ла Гарп,[1] Брідсон & Гефлінгер[4].

Формальні твердженняРедагувати

Пінг-понг лема для декількох підгрупРедагувати

Ця версія пінг-понг леми стверджує, що декілька підгруп групи, діючих на множині вільно, породжують вільний добуток. Нижченаведене твердження з'явилося в роботі Олійника та Сущанського[5], а його доведення в роботі де ла Гарпи.[1]

Нехай   — група, що діє на множині  , і нехай  , де  , — підгрупи групи   такі, що хоча б одна із цих підгруп має порядок більший ніж 2. Припустимо, що існують попарно неперетинні непорожні підмножини   із множини  , які задовольняють наступну умову:

  • для будь-якого   і для будь-якого  ,   маємо:  .

Тоді

 

ДоведенняРедагувати

З означення вільного добутку випливає, що достатньо буде перевірити лише те, чи задане непорожнє зведене слово представляє собою нетривіальний елемент із групи  . Нехай   буде таким словом, довжина якого  , і нехай

 

де   для деяких  . Оскільки слово   є зведеним, то   для будь-яких   і кожне   відрізняється від нейтрального елемента з підгрупи  . Після цього діємо словом   на елемент однієї із множин  . Оскільки припустили, що хоча б одна підгрупа   має порядок щонайменше 3, то без втрати загальності[en] можна припустити, що   має порядок щонайменше 3. Спочатку робимо припущення, що   і   одночасно дорівнюють 1 (із чого випливає, що  ). Тепер розглянемо слово  , яке діє на множину  . Отримуємо наступний ланцюжок обмежень:

 

За припущенням різні   є неперетинними, тому робимо висновок, що слово   діє нетривіально на деякий елемент підмножини  . Таким чином, слово   представляє нетривіальний елемент групи  .

Для завершення доведення розглянемо три випадки:

  • якщо  ,  , тоді нехай   (таке   існує, оскільки за припущенням   має порядок щонайменше 3);
  • якщо  ,  , тоді нехай  ;
  • і якщо  ,  , тоді нехай  .

У кожному з випадків слово   після зведення стає зменшеним словом, у якому перша і остання літера з підгрупи  . Отже, слово   представляє нетривіальний елемент із групи  , так само і слово  . Це і доводить наше твердження.

Пінг-понг лема для циклічних підгрупРедагувати

Нехай   — група, що діє на множині  . Нехай  , де  , — елементи групи   нескінченного порядку. Припустимо, що існують неперетинні непорожні підмножини

 

множини  , для яких виконуються наступні умови:

  •  ,  
  •  ,  

Тоді підгрупа  , що породжена елементами  , є вільною з вільним базисом  

ДоведенняРедагувати

Це твердження є наслідком пiнг-понг леми для загальних пiдгруп, якщо покладемо   і  

ПрикладиРедагувати

Приклад спеціальної лінійної групиРедагувати

За допомогою пінг-понг леми можна довести,[1] що підгрупа  , породжена матрицями

  і  

є вільною групою і має ранг 2.

ДоведенняРедагувати

Дійсно, нехай   і   — циклічні підгрупи групи   породжені матрицями   і   відповідно. Неважко перевірити, що   і   є елементами нескінченного порядку групи   і те, що

 

і

 

Розглянемо дію групи   на   за допомогою лінійних перетворень. Покладемо

 

і

 

Неважко перевірити, використовуючи наведений вище опис підгрупи   і  , що для кожного нетривіального   отримуємо   і   для кожного нетривіального  . Використовуючи наведену вище пінг-понг лему для двох циклічних підгруп, робимо висновок, що  . Оскільки підгрупи   і   є нескінченно циклічними, то звідси випливає, що підгрупа   є вільною групою рангу 2.

Приклад словесно-гіперблочної групиРедагувати

Нехай  словесно-гіперболічна група, яка є групою без кручення, тобто, не має нетотожних елементів скінченного порядку. Нехай   — два некомутативних елемента, тобто таких, що   Тоді існує таке  , що для будь-яких натуральних  ,   підгрупа   є вільною групою рангу 2.

Схема доведення[6]Редагувати

Дія групи   на її гіперболічній границі   є гомеоморфізмом. Відомо, що, якщо   в групі   є не тотожнім елементом, то   має принаймні дві різні нерухомі точки —   і  , які належать границі  . Відповідно   є притягально нерухомою точкою точкою, а  відштовхувально нерухомою точкою.

Оскільки елементи   і   не комутують, то з основних властивостей словесно-гіперболічної групи випливає, що  ,  ,   і  є чотирма різними точками границі   Вибираємо неперетинні околи  ,  ,   і   відповідно для  ,  ,   і   на границі  . Тоді з властивостей притягувальних/відштовхувальних нерухомих точок елементів   і   випливає, що існує таке  , що для будь-яких натуральних  ,  :

  •  
  •  
  •  
  •  

З пінг-понг леми випливає, що підгрупа   є вільною підгрупою рангу 2.

Застосування пінг-понг лемиРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. а б в г Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) and examples of free products"; pp. 25–41.
  2. а б J. Tits. Free subgroups in linear groups. Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270
  3. а б Roger C. Lyndonand de la Harpe Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Ch II, Section 12, pp. 167–169
  4. Martin R. Bridson, and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9; Ch.III.Γ, pp. 467–468
  5. Andrij Olijnyk and Vitaly Suchchansky. Representations of free products by infinite unitriangular matrices over finite fields. International Journal of Algebra and Computation. Vol. 14 (2004), no. 5–6, pp. 741–749; Lemma 2.1
  6. а б M. Gromov. Hyperbolic groups. Essays in group theory, pp. 75–263, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 8, Springer, New York, 1987; ISBN 0-387-96618-8; Ch. 8.2, pp. 211–219.
  7. Alexander Lubotzky. Lattices in rank one Lie groups over local fields. Geometric and Functional Analysis, vol. 1 (1991), no. 4, pp. 406–431
  8. Richard P. Kent, and Christopher J. Leininger. Subgroups of mapping class groups from the geometrical viewpoint. In the tradition of Ahlfors-Bers. IV, pp. 119–141, Contemporary Mathematics series, 432, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007; ISBN 978-0-8218-4227-0; 0-8218-4227-7
  9. M. Bestvina, M. Feighn, and M. Handel. Laminations, trees, and irreducible automorphisms of free groups. Geometric and Functional Analysis, vol. 7 (1997), no. 2, pp. 215–244.
  10. Pierre de la Harpe. Free groups in linear groups. L'Enseignement Mathématique (2), vol. 29 (1983), no. 1-2, pp. 129–144
  11. Bernard Maskit. Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17746-9; Ch. VII.C and Ch. VII.E pp.149–156 and pp. 160–167
  12. Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) and examples of free products"; pp. 187–188.
  13. Alex Eskin, Shahar Mozes and Hee Oh. On uniform exponential growth for linear groups. Inventiones Mathematicae. vol. 60 (2005), no. 1, pp.1432–1297; Lemma 2.2
  14. Roger C. Alperin and Guennadi A. Noskov. Uniform growth, actions on trees and GL2. Computational and Statistical Group Theory:AMS Special Session Geometric Group Theory, April 21–22, 2001, Las Vegas, Nevada, AMS Special Session Computational Group Theory, April 28–29, 2001, Hoboken, New Jersey. (Robert H. Gilman, Vladimir Shpilrain, Alexei G. Myasnikov, editors). American Mathematical Society, 2002. ISBN 978-0-8218-3158-8; page 2, Lemma 3.1
  15. Yves de Cornulier and Romain Tessera. Quasi-isometrically embedded free sub-semigroups. Geometry & Topology, vol. 12 (2008), pp. 461–473; Lemma 2.1