Альтернатива Тітса

Альтернати́ва Ті́тса — теорема про будову скінченно породжених лінійних груп. Названа на честь Жака Тітса.

Формулювання

Нехай $G$ скінченно породжена лінійна група над деяким полем. Тоді для $G$ виконується рівно одне з таких тверджень

• Або $G$ майже розв'язна, тобто містить розв'язну підгрупу скінченного індексу.
• Або $G$ містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.

Наслідки

• Лінійна група не аменабельна, тоді й лише тоді, коли вона містить неабелеву вільну групу.
  • Іншими словами, гіпотеза фон Неймана справедлива й для лінійних груп.
• Альтернатива Тітса є важливим компонентом у доведенні теореми Громова про групи поліноміального зростання.

Варіації та узагальнення

Кажуть, що група $G$ задовольняє альтернативу Тітса, якщо кожна підгрупа $H<G$ майже розв'язна або містить неабелеву вільну підгрупу. Іноді у визначенні додатково припускають, що $H$ скінченно породжена.

Прикладами груп, що задовольняють альтернативу Тітса, є лінійні групи, а також:

• Гіперболічні групи
• Група класів перетворень поверхні
• $Out(F_{n})$

Приклади груп, що не задовольняють альтернативу Тітса:

• Група Григорчука ;
• Група F Томпсона .

Про доведення

У доведенні розглядають замикання ${\bar {G}}$ групи $G$ у топології Зариського. Якщо ${\bar {G}}$ розв'язна, то й група $G$ розв'язна. В іншому випадку переходять до розгляду образу $G$ в компоненті Леві ${\bar {G}}$. Якщо вона некомпактна, то пінг-понг лема завершує доведення. Якщо вона компактна, то або всі власні значення елементів у образі $G$ є коренями одиниці, отже, образ $G$ скінченний, або можна знайти вкладення, для якого застосовна пінг-понг лема.

Посилання

• Tits, J. Free subgroups in linear groups // Journal of Algebra. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.