У математиці, а саме у алгебричній топології клітинною гомологією називається гомологічна теорія для категорії CW-комплексів. Вона узгоджується із сингулярною гомологією і часто дає ефективні методи для її обчислення.

Означення

ред.

Якщо   є CW-комплексом і   позначає його n-кістяк. Нехай   позначає групу ланцюгового комплексу для відносної гомології пари   Відповідна відносна гомологічна група   є тривіальною групою для   і вільною абелевою групою, генераторами якої є  -клітини комплекса   для  .

Між групами   і   можна задати граничне відображення   як   де   є відображенням із гомологічної групи   на відносну гомологічну групу пари   а   є зв'язуючим гомоморфізмом у довгій точній послідовності пари  

Більш конкретно якщо   є елементом   і   — циклом, що представляє цей елемент, то   є класом гомології образу цього елемента у фактор-групі   (цей образ теж буде циклом). Натомість, якщо   є елементом   то згідно означень для   існує представник   для якого   де   Тоді   у   оскільки граничне відображення цього елемента у   і   є однаковими і в   елемент   є граничним. Натомість у   він може бути не граничним і для нього клас гомології може бути нетривіальним.   за означенням є класом гомології елемента   у  .

Для граничних відображень  , оскільки згідно означення   і   адже у лівій частині є композиція двох послідовних відображень у довгій точній послідовності пари  

Таким чином відносні гомологічні групи і граничні відображення   утворюють ланцюговий комплекс:

 

Гомології цього комплексу і називаються клітинними гомологіями комплексу  .

Граничні відображення за допомогою степенів відображень

ред.

Граничні відображення у комплексі також модна задати за допомогою степенів відображень. А саме, нехай   є  -клітиною   і   є її відображенням склеювання. Розглянемо композицію відображень

 

де перше відображення ідентифікує   із  ,   є  -клітиною у X, третє відображення   є фактор відображенням яке стискає   у точку (перетворюючи при цьому   у сферу  ), і останнє відображення ідентифікує   із   за допомогою характеристичного відображення   клітини  .

Тоді граничне відображення

 

на відповідному елементі задається формулою

 

де   є степенем відображення   і сума береться за всіма  -клітинами у  , що розглядаються як породжуючі елементи у   (оскільки за означенням CW-комплекса образ границі  клітини при відображенні склеювання належить скінченній кількості  -клітин, то усі доданки у сумі крім скінченної кількості будуть нульовими).

Приклади

ред.

n-сфера

ред.

Для n-вимірної сфери Sn існує клітинне розбиття із двома клітинами, однією 0-клітиною і однією n-клітиною. При цьому n-клітина приєднується за допомогою сталого відображення із   на 0-клітину. Оскільки породжуючими елементами груп   є k-клітини у розбитті Sn, то   для   а інші групи є тривіальними.

Тому для  , відповідний ланцюговий комплекс є рівним:

 

і оскільки всі граничні відображення є відображеннями з або на тривіальні групи, вони всі є нульовими гомоморфізмами. Тож клітинні гомологічні групи є:

 

Якщо  , то граничне відображення   теж є нульовим, тож формула є справедливою для всіх додатних  .

Поверхні роду g

ред.

За допомогою клітинної гомології можна також обчислити гомології поверхні роду g  . Фундаментальним многокутником   є  -кутник і звідси одержується клітинне розбиття   із однією 2-клітиною,   1-клітинами і однією 0-клітиною. 2-клітина приєднується вздовж границі  -кутника, який містить кожну 1-клітину двічі, в різному порядку. Тому степінь відповідного відображення є рівним нулю. Також відображення склеювання для кожної 1-клітини має степінь рівний 0, оскільки це є відображення із   на 0-клітину. Тож відповідний ланцюговий комплекс є

 

де всі граничні відображення є нульовими. Отже клітинна гомологія поверхні роду g є рівною

 

Для неорієнтованих поверхонь роду g можна задати клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, g 1-клітинами, і 1-єю 2-клітиною. Гомологічні групи для цих поверхонь є рівними

 

Тор

ред.

Для n-тора   існує клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, n 1-клітинами, ..., і 1-єю n-клітиною. Ланцюговий комплекс є

  і всі граничні відображення є нульовими.

Тому,   .

Комплексний проєктивний простір

ред.

Якщо   не має клітин суміжної розмірності, (тобто якщо у ньому є n-клітини, то немає (n-1)-клітин і (n+1)-клітин), тоді   є вільною абелевою групою породженою n-клітинами, для кожного  .

Комплексний проєктивний простір   можна одержати склеюванням 0-клітини, 2-клітини, ... і зрештою (2n)-клітини, тому   для  , і   для непарних k.

Дійсний проєктивний простір

ред.

Дійсний проєктивний простір   має клітинне розбиття із однією  -клітиною   для всіх  . Відображеннями склеювання для цих  -клітин є подвійне накриття  . Тому зокрема  -кістяк   для всіх  . Також   для всіх  .

Для обчислення граничного відображення

 

необхідно визначити степінь відображення

 

Для цього слід зауважити, що  , і для кожної точки  , прообраз   складається із двох точок, по одній у кожній компоненті зв'язності (відкритій напівсфері)  . Тому для знаходження степеня відображення  , достатньо знайти локальні степені   на кожній із цих відкритих напівсфер. Нехай вони позначаються   і  . Тоді   і   є гомеоморфізмами і  , де   є антиподальним відображенням. Степінь   на   є рівним  . Тому можна вважати, що локальний степінь   на   є рівним   і тоді локальний степінь   на   є рівним  . Додаючи локальні степені можна одержати значення степеня відображення

 

Тоді граничне відображення   є множенням на   у групі цілих чисел, і звідси утворюється ланцюговий комплекс:

 

де   якщо   є парним числом і   якщо   є непарним числом.

Із цього комплексу обчислюється клітинна гомологія для  :

 

Інші властивості

ред.
  •  -кістяк однозначно визначає всі гомологічні модулі нижчих порядків:
 
для  .

Еквівалентність клітинної і сингулярної гомологій

ред.

Для CW-комплекса гомологічні групи у клітинній гомології є ізоморфними гомологічним групам сингулярної гомології. Якщо для простору існує триангуляція то клітинна гомологія також є ізоморфною симпліційній.

Доведення еквівалентності сингулярної і клітинної гомологій здійснюється за допомогою аналізу точних послідовностей для пари просторів   і ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології.

Нехай

 

є частиною точної послідовності пари   Оскільки   для   то   є ізоморфізмом для   Тому для   буде

 

Звідси також випливає, що відображення   є ін'єктивним.

Нехай тепер

 

є частиною ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології із проміжними відображеннями. Для спрощення надалі також позначатиметься   із відповідними позначеннями для ядер, границь і гомологій цього комплексу.

Оскільки відображення   є ін'єктивним, то

 

де останній ізоморфізм випливає із ін'єктивності  

Звідси

 .

Але із довгої точної послідовності для пари   випливає, що

 

і тому відповідно

 

Але оскільки   знову ж використовуючи довгу точну послідовність для пари просторів   остаточно  

Але із вказаних вище ізоморфізмів

 

Це завершує доведення у випадку скінченновимірного комплексу, тобто у випадку   для деякого додатного  

У нескінченновимірному випадку кожен цикл  , що представляє елемент у   є формальною скінченною сумою сингулярних симплексів, що є образами неперервних відображень із стандартного симплекса. Оскільки кожен такий образ є компактною множиною то всі вони загалом містяться у деякому скінченному підкомплексі і тому зокрема   є елементом   де можна вважати, що   Але, як вказано вище   і тому всі елементи   мають відповідники у   Іншими словами існує сюр'єктивний гомоморфізм із   у  . Подібним чином, якщо деякий елемент   є рівним нулю у  , то він має бути нульовим у   і з   випливає, що сам цей елемент є нулем. Тобто гомоморфізм із   у   є також ін'єктивним, що завершує доведення еквівалентності.

Узагальнення

ред.

Спектральна послідовність Атії — Хірцебруха є аналогічним методом обчислення(ко)гомології для CW-комплекса, для довільної екстраординарної (ко)гомологічної теорії.

Характеристика Ейлера

ред.

Для CW-комплексу   із скінченно кількістю клітин, нехай   позначає кількість  -клітин, тобто ранг   як вільної абелевої групи. Характеристика Ейлера комплекса   за означенням є рівною

 

Характеристика Ейлера є гомотопним інваріантом. У термінах чисел Бетті для  :

 

Це випливає із довгої точної послідовності відносної гомології для трійки  :

 

Розбиваючи цю послідовність на короткі точні послідовності можна одержати співвідношення:

 

і такі ж для  ,  , і т.д. За індукцією:

 

Див. також

ред.

Література

ред.