Кватерніонна алгебра

У математиці кватерніонною алгеброю над полем F називається центральна проста алгебра A над F розмірність якої є рівною 4.

Еквівалентні означенняРедагувати

Пряма побудоваРедагувати

Коли F має характеристику не рівну 2, кожну кватерніонну алгебру над F можна описати як 4-вимірний векторний простір над F із базисом   і таблицею множення для базисних елементів:

 
 
 
 

де a і b є деякими ненульовими елементами поля F. Із цих рівностей також випливає:

 

Для позначення кватерніонної алгебри із вказаною таблицею множення використовується позначення (a,b)F або просто (a,b).[1]

Коли поле F має характеристику 2 таблиця множення базових елементів має трохи інший вигляд:

 
 
 
 

У будь-якому випадку кватерніонна алгебра над F задана цими співвідношеннями є центральною простою алгеброю розмірності 4 над F і навпаки кожна центральна проста алгебра розмірності 4 є кватерніонною алгеброю заданою якимось із співвідношень (в залежності від характеристики).

Для елемента   кватерніонної алгебри над полем характеристика якого не є рівною 2 його спряжений елемент задається як

 

Для кватерніонної алгебри нормою називається відображення:

 

Еквівалентно  

Побудова за допомогою етальних квадратичних алгебрРедагувати

Для полів довільної характеристики кватерніонну алгебру можна побудувати за допомогою етальних квадратичних алгебр, з використанням побудови Келі — Діксона.

Якщо C є етальною квадратичною алгеброю над F (тобто алгеброю ізоморфною   або квадратичному сепарабельному розширенню поля F), то існує єдиний автоморфізм J алгебри C, що відрізняється від одиничного і називається спряженням.

Конкретно можна взяти   де   задовольняє рівнянню   Спряження у цьому випадку задається як   Якщо многочлен   не має коренів у F, то C є сепарабельним квадратичним розширенням поля F. Якщо цей многочлен має корені у F, то C є ізоморфною   Наприклад для   многочлен має корені у F і ізоморфізм між   і   задається через співвідношення   і   Таким чином кожна етальна квадратична алгебра C має вигляд  

Якщо a є ненульовим елементом F то на F-векторному просторі   можна ввести множення (x, y)(x', y') = (xx' + aJ(y')y, yJ(x')+ y'x). Із цією операцією Q є кватерніонною алгеброю над F, яку позначають як (C, b)F. Навпаки кожна кватерніонна алгебра над F може бути отримана у описаний спосіб.

Наприклад для   поле комплексних чисел   є етальною квадратичною алгеброю і для a = –1, алгебра Q є ізоморфною звичайним кватерніонам.

За допомогою сепарабельних квадратичних розширеньРедагувати

Нехай F — поле довільної характеристики і L — його квадратичне сепарабельне розширення і   Нехай J позначає єдиний неодиничний F-автоморфізм поля L.

Тоді алгебра L + L u, де   і для кожного   також   є кватерніонною алгеброю над F і кожна кватерніонна алгебра одержується в такий спосіб.

Для елементів a + bu і c + du добуток є рівним  

Спряження на кватерніонній алгебрі є лінійним продовженням J на L і J(u) = -u.

ПрикладиРедагувати

  • Класичні кватерніони є кватерніонною алгеброю над  . У цьому випадку (a = b = −1)
  • Для спліт-кватерніонів (a = −1, b = +1). Для спліт-кватерніонів також   і  . Спліт-кватерніони є ізоморфними алгебрі квадратних дійсних матриць порядку 2.
  • Звичайні кватерніони і спліт-кватерніони є єдиними прикладами кватерніонних алгебр над полем дійсних чисел. Всі інші є ізоморфними одній із цих алгебр.
  • Алгебра квадратних матриць порядку 2 з елементами з поля F є кватерніонною алгеброю над полем F. Якщо F є скінченним полем,алгебрично замкнутим полем (наприклад  ) чи навіть сепарабельно замкнутим полем то ця алгебра є єдиною з точністю до ізоморфізму.

ВластивостіРедагувати

Всюди нижче F є полем характеристика якого не є рівною 2.

  • Кватерніонні алгебри (a,b)F і (b,a)F є ізоморфними.
  • Кватерніонна алгебра (a,b)F є або алгеброю з діленням або ізоморфною алгебрі 2×2 матриць над F: у другому випадку кажуть, що алгебра розщеплюється.[2]
  • Кожна кватерніонна алгебра стає алгеброю матриць після розширення скалярів, тобто для деякого розширення K поля F,   є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над K.
  • Елемент q кватерніонної алгебри (a,b)F є оборотним тоді і тільки, коли його норма не дорівнює нулю. Як наслідок кватерніонна алгебра є алгеброю з діленням якщо і тільки якщо її норма є рівною нулю лише для нульового елемента.
  • Кватерніонна алгебра (a,b)F розщеплюється якщо і тільки якщо b є рівним нормі деякого елемента у квадратичному розширенні   поля F.
  • Нехай A — деяка кватерніонна алгебра над полем F і   Тоді A є ізоморфною кватерніонній алгебрі (a,b)F для деякого   тоді і тільки тоді коли  -алгебра   розщеплюється і тоді і тільки тоді коли A містить підполе ізоморфне  .
  • Нехай   — кватерніонна алгебра. Тоді для   алгебра   є ізоморфною   і для кожного такого ізоморфізму   для норми виконується рівність  
  • Коніка C(a,b) задана як
 
має точку (x,y,z) з координатами у полі F для алгебр, що розщеплюються і тільки для них.[3]

ЗастосуванняРедагувати

Кватерніонні алгебри застосовуються у теорії чисел, зокрема при вивченні квадратичних форм. Вони зокрема визначають елементи порядку 2 у групі Брауера поля F. Для деяких полів, наприклад алгебричних числових полів, кожен елемент порядку 2 у групі Брауера є класом еквівалентності кватерніонної алгебри.

Згідно теореми Меркур'єва кожен елемент порядку 2 у групі Брауера довільного поля є класом еквівалентності тензорного добутку кватерніонних алгебр.[4].

КласифікаціяРедагувати

Над полем дійсних чисел є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці з дійсними елементами і класичні кватерніони Гамільтона.

Над довільним локальним полем F теж є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці над F і однозначно визначена (з точністю до ізоморфізму) алгебри з діленням. Проте кватерніонна алгебра з діленням над локальним полем є зазвичай не алгебра (-1,-1)F, як у випадку дійсних чисел. Наприклад для p-адичних чисел   є алгебрj. з діленням лише у випадку p = 2.

Одним із способів класифікації кватерніонних алгебр над F є однозначна відповідність між класами еквівалентності кватерніонних алгебр над F і класами еквівалентності їх норм як квадратичних форм.

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чиселРедагувати

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел мають арифметичну теорію схожу до квадратичних розширень  .

Нехай   — кватерніонна алгебра над   і   позначає поповнення   по p-адичній нормі (тобто p-адичні числа   для деякого простого числа p) або звичайній нормі (тобто дійсні числа  ). Алгебра   є кватерніонною алгеброю над полем  .

Тоді   може бути ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над   або бути алгеброю з діленням.

Кажуть, що алгебра   розщеплюється у   якщо   є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над  . В іншому випадку алгебра не розщеплюється у  . Наприклад, раціональні кватерніони (-1,-1)Q не розщеплюються у 2 і   і розщеплюються для всіх непарних простих чисел. Алгебра раціональних квадратних матриць порядку 2 розщеплюється для всіх  .

Кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел яка розщеплюється у   є аналогом дійсного квадратичного поля, а алгебра яка не розщеплюється у   є аналогом уявного квадратичного поля.

Кількість   де кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел не розщеплюється є парним числом. До того ж ця множина визначає B з точністю до ізоморфізму. Добуток простих чисел по яких B розщеплюється називається дискримінантом B.

ПриміткиРедагувати

  1. Gille & Szamuely (2006) p.2
  2. Gille & Szamuely (2006) p.3
  3. Gille & Szamuely (2006) p.7
  4. Lam (2005) p.139

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати