L-функція

мероморфна функція на комплексній площині

L-функція — це мероморфна функція на комплексній площині, пов'язана з одним із декількох типів математичних об'єктів. L-ряд — це ряд Діріхле, який зазвичай збігається на півплощині, і який можна аналітично продовжити до L-функції на всій комплексній площині.

Дзета-функцію Рімана можна розглядати як прототип усіх L-функцій[1]

Теорія L-функцій стала дуже суттєвою, хоча ще поки багато в чому гіпотетичною, частиною сучасної аналітичної теорії чисел. У ній побудовано широкі узагальнення дзета-функції Рімана і L-рядів для характерів Діріхле, а їхні загальні властивості, в переважній більшості випадків поки недоступні для доведення в систематичному викладі

ПобудоваРедагувати

Ми розрізнятимемо L-ряди, тобто подання через ряди (наприклад, ряд Діріхле для дзета-функції Рімана), і L-функції, тобто аналітичні продовження функції на всій комплексній площині. Загальна побудова починається з L-рядів, які спочатку визначаються як ряди Діріхле, і їх розкладання в ейлерів добуток з індексом, що пробігає прості числа. Розгляд потребує доведення збіжності ряду в деякій правій півплощині поля комплексних чисел. Потім питається, чи можна визначувану функцію аналітично продовжити на всю комплексну площину (можливо, з появою декількох полюсів).

Гіпотетичне мероморфне продовження на комплексну площину називається L-функцією. Уже в класичних випадках відомо, що корисна інформація міститься в значеннях і в поведінці L-функції в її нулях і полюсах. Загальний термін «L-функція» тут включає також багато типів дзета-функцій. Клас Сельберга — це спроба описати всі основні властивості L-функцій за допомогою множини аксіом, щоб вивчати властивості класу разом, а не окремо.

Гіпотетична інформаціяРедагувати

Нижче наведено список характеристик відомих L-функцій, які бажано побачити в загальному вигляді:

  • розташування нулів і полюсів;
  • функціональне рівняння, з урахуванням деяких вертикальних прямих  ;
  • цікаві значення в цілих числах, пов'язані з параметрами алгебричної K-теорії.

Детальна робота породжена великим обсягом правдоподібних гіпотез, наприклад, про точний тип функціонального рівняння, яке має виконуватися для L-функцій. Оскільки значення дзета-функції Рімана в додатних парних цілих числах (і від'ємних непарних цілих числах) пов'язані з числами Бернуллі, то триває пошук відповідного узагальнення цього явища. У цьому випадку отримано результати для p-адичних L-функцій, які описують певний модуль Галуа.

Статистика розподілу нулів становить інтерес через їх зв'язок із такими проблемами, як узагальнена гіпотеза Рімана, розподіл простих чисел тощо. Зв'язки з теорією випадкових матриць і квантовим хаосом також становлять інтерес. Цікавить також фрактальна структура розподілів[2]. Самоподібність розподілу нулів вельми примітна і характеризується великою фрактальною розмірністю 1,9. Ця досить велика фрактальна розмірність міститься над нулями, які покривають не менше п'ятнадцяти порядків амплітуди для дзета-функції Рімана, а також для нулів інших L-функцій різних порядків і кондукторів.

Гіпотеза Берча і Свіннертона-ДаєраРедагувати

Одним з важливих прикладів, як для історії більш загальних L-функцій, так і як поки що відкритої дослідницької проблеми, є гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра. Гіпотеза каже, як можна обчислити ранг еліптичної кривої над полем раціональних чисел (або іншим глобальним полем), тобто число вільних раціональних точок, що утворюють його групи. Багато попередніх робіт у цій галузі стали об'єднуватися навколо кращого знання L-функцій. Це було схоже на приклад парадигми зароджуваної теорії L-функцій.

Сходження загальної теоріїРедагувати

Цей розвиток передував програмі Ленглендса[ru] на кілька років і може розглядатися як її доповнення: робота Ленглендса переважно пов'язана з L-функціями Артіна, і з L-функціями, приєднаними до загального автоморфного подання.

Поступово стало зрозуміліше, в якому сенсі конструкція дзета-функції Гассе — Вейля може зробити робочим забезпечення допустимих L-функцій — в аналітичному сенсі: має бути певний внесок від аналізу, що означало «автоморфний» аналіз. Загальний випадок тепер об'єднує на концептуальному рівні низку різних дослідницьких програм.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  1. Jorn Steuding, An Introduction to the Theory of L-functions, Preprint, 2005/06
  2. O. Shanker. Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions // J. Phys. A: Math. Gen.[en] : journal. — 2006. — Vol. 39, no. 45 (25 March). — P. 13983—13997. — Bibcode:2006JPhA…3913983S. — DOI:10.1088/0305-4470/39/45/008.