Характером Діріхле по модулю називається функція із множини цілих чисел у множину комплексних чисел , що задовольняє умови:
.
для будь-яких і (мультиплікативність).
Існує натуральне число, таке що для будь-якого (періодичність).
Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом то вона є також періодичною із періодом . Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).
Тоді , тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.
Навпаки, якщо — характер Діріхле згідно першого означення і — його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем . Також якщо для деякого то і тому . Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем є теж мультиплікативною.
Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що якщо і є взаємно простими числами і якщо і не є взаємно простими.
Нехай . Тоді існують такі два цілих числа і , що . Отже, враховуючи періодичність і тому .
Нехай тепер і . Оскільки , то існує таке ціле число , що , бо в іншому випадку було б періодом . Але
Як було показано при доведенні еквівалентності означень і якщо і не є взаємно простими, де — основний модуль. Якщо ж і є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера , де — функція Ейлера і тому також , тобто ненульові значення характера Діріхле модуля є коренями з одиниці степеня .
Нехай — характери Діріхле з основними модулями відповідно. Тоді добуток є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел .
Нехай — характер Діріхле з основним модулем , де всі числа — попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів основні модулі яких рівні і також .
Існує різних характерів по модулю . Вони утворюють групу порядку , ізоморфну мультиплікативній підгрупі оборотних елементів кільця лишків за модулем .
де — символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем .
Нехай — непарне просте число, — натуральне число, — первісний корінь по модулю і якщо то , тобто найменше натуральне число для якого . Нарешті, нехай число — будь-який корінь рівняння , де . Визначимо функцію умовами:
Ця функція є характером по модулю , де .
Нехай — натуральне число і — його розклад на прості множники. Нехай , якщо або і , якщо . Нехай також і — індекси, як вище (відповідно по модулях ), а — найменші натуральні числа для яких . Якщо — — корені з одиниці степенів , то функція
є характером Діріхле за модулем . Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі характери Діріхле за модулем .
Нехай — характер Діріхле за модулем . Найменший дільник числа такий, що для всіх цілих чисел таких що , і виконується називається провідним модулем або кондуктором характера.
Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем є рівним , то характер називається примітивним.
Якщо — непримітивний характер кондуктора , то існує примітивний характер з модулем , що породжує (індукує) характер , тобто:
Характер є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа , що ділить і , існує ціле число, що задовольняє умови:
.
У термінах гомоморфізмів груп характер називається примітивним, якщо не існує власного дільника числа , характера і гомоморфізму для яких