Характер Діріхле

Характер (або числовой характер, або характер Діріхле) по модулю (де — ціле число) — комплекснозначна періодична функція на множині цілих чисел. Характери Діріхле мають важливі застосування у теорії чисел зокрема при означенні L-функції Діріхле .

ОзначенняРедагувати

Аксіоматичне означенняРедагувати

Характером Діріхле по модулю   називається функція   із множини цілих чисел   у множину комплексних чисел  , що задовольняє умови:

  •  .
  •   для будь-яких   і   (мультиплікативність).
  • Існує натуральне число, таке що   для будь-якого   (періодичність).

Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом   то вона є також періодичною із періодом  . Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).

За допомогою класів лишківРедагувати

Нехай   — множина оборотних елементів кільця лишків   за модулем  . Елементами є класи лишків   де числа   є взаємно простими з  .   є комутативною групою порядок якої дорівнює значенню функції Ейлера  . Характером Діріхле називається гомоморфізм груп:

 .

Еквівалентність означеньРедагувати

Для гомоморфізму груп   можна ввести функцію  , як

 

Тоді  , тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.

Навпаки, якщо   — характер Діріхле згідно першого означення і   — його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем  . Також якщо   для деякого   то   і тому  . Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем   є теж мультиплікативною.

Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що   якщо   і   є взаємно простими числами і   якщо   і   не є взаємно простими.

Нехай  . Тоді існують такі два цілих числа   і  , що  . Отже, враховуючи періодичність   і тому  .

Нехай тепер   і  . Оскільки  , то існує таке ціле число  , що  , бо в іншому випадку   було б періодом  . Але

 

Тому   і з мультиплікативності  .

ВластивостіРедагувати

  • Як було показано при доведенні еквівалентності означень   і   якщо   і   не є взаємно простими, де   — основний модуль. Якщо ж   і   є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера  , де  функція Ейлера і тому також  , тобто ненульові значення характера Діріхле модуля   є коренями з одиниці степеня  .
  • Нехай   — характери Діріхле з основними модулями   відповідно. Тоді добуток   є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел  .
  • Нехай   — характер Діріхле з основним модулем  , де всі числа   — попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів   основні модулі яких рівні   і також  .
  • Існує   різних характерів по модулю  . Вони утворюють групу порядку  , ізоморфну мультиплікативній підгрупі   оборотних елементів кільця лишків за модулем  .

ПрикладиРедагувати

  • Функція   є характером, що називається тривіальним характером.
  • Характер,  , називається головним характером по модулю  . В групі характерів по модулю   він є одиничним елементом.
  • Нехай  непарне натуральне число. Введемо функцію:
 ,
де  символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем  .
  • Нехай   — непарне просте число,   — натуральне число,  первісний корінь по модулю   і якщо   то  , тобто найменше натуральне число для якого  . Нарешті, нехай число   — будь-який корінь рівняння  , де  . Визначимо функцію   умовами:
 
Ця функція є характером по модулю  , де  .
  • Нехай  натуральне число і   — його розклад на прості множники. Нехай  , якщо   або   і  , якщо  . Нехай також   і   — індекси, як вище (відповідно по модулях  ), а   — найменші натуральні числа для яких  . Якщо —  корені з одиниці степенів  , то функція
 
є характером Діріхле за модулем  . Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі   характери Діріхле за модулем  .

Основні співвідношенняРедагувати

 ;
 , де сума є за всіма характерами.
Відношення ортогональності:
 
Відповідно при інтерпретації характера Діріхле як гомоморфізму груп  , характери Діріхле утворюють ортогональну базу усіх характерів групи  .

Примітивний характерРедагувати

Нехай   — характер Діріхле за модулем  . Найменший дільник   числа   такий, що для всіх цілих чисел   таких що  ,   і   виконується   називається провідним модулем або кондуктором характера.

Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем   є рівним  , то характер називається примітивним.

Якщо   — непримітивний характер кондуктора  , то існує примітивний характер   з модулем  , що породжує (індукує) характер  , тобто:

 

Характер   є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа  , що ділить   і  , існує ціле число  , що задовольняє умови:

 .

У термінах гомоморфізмів груп характер   називається примітивним, якщо не існує власного дільника   числа  , характера   і гомоморфізму   для яких  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — Москва: УРСС, 2004.
  • Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.