Самоподібний об'єкт (в математиці) — об'єкт, який точно або наближено збігається з частиною себе самого (тобто ціле має ту ж форму, що й одна або більше частин).

Крива Коха володіє властивістю нескінченної самоподібності при збільшенні зображення

Багато об'єктів реального світу, наприклад, берегові лінії, мають властивість статистичної самоподібності: їх частини статистично однорідні в різних шкалах виміру. Самоподібність є характеристичною властивістю фракталів.

Інваріантність щодо зміни шкали є однією з форм самоподібності, коли при будь-якому наближенні знайдеться принаймні одна частина основної фігури, подібна до цілої фігури.

ВизначенняРедагувати

Компактний топологічний простір X самоподібний, якщо існує скінченна множина S, яка індексує набір несюр'єктивних гомеоморфізмів   для яких:

 

Якщо  , то X називається самоподібним якщо існує єдина непорожня підмножина Y така, що вищенаведене рівняння виконується для  . У такому випадку:

 

називається самоподібною структурою. Можна проітерувати дані гомеоморфізми так, що в результаті вийде система ітерованих функцій. Композиція функцій породжує алгебраїчну структуру моноїду. У випадку, якщо множина S містить всього два елементи, моноїд називається диадичним. Диадичний моноїд можна візуально представити у вигляді нескінченного бінарного дерева; взагалі, якщо множина S має p елементів, моноїд може бути представлений у вигляді p-адичного дерева.

Група автоморфізмів диадичного моноїду є модулярною; автоморфізми можуть бути візуалізовані як гіперболічної обертання бінарного дерева.

ПрикладиРедагувати

 
Самоподібність множини Мандельброта, збільшення точки Фейгенбаума, координати (-1.401155189...,0)
 
Зображення папороті з властивістю афінної самоподібності

Поняття самоподібності має важливе застосування в побудові комп'ютерних мереж, оскільки типовий мережевий потік володіє властивостями самоподібності. Наприклад, в телефонії, потоки пакетних даних майже статистично самоподібні. Наявність даної властивості означає, що прості моделі, які використовують розподіл Пуассона є неточними, і мережі, побудовані без урахування самоподібності, можуть діяти в непередбачуваних режимах.

Рух цін на фондовому ринку також демонструє властивість самоподібності, оскільки цілком обґрунтованим здається вважати графіки наближено самоповторюваними при зміні масштабу (скважності, періодичності).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. Benoît Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension (англ.)
  2. Leland et al. "On the self-similar nature of Ethernet traffic", IEEE/ACM Transactions on Networking, Volume 2, Issue 1 (February 1994) (англ.)
  3. Benoit Mandelbrot (February 1999). "How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street". Scientific American. [1]. (англ.)

ПосиланняРедагувати