Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Гіпотеза Берча — Свіннертона-Даєра описує множину раціональних розв'язків рівнянь, які визначають еліптичною кривою. Це є відкритою проблемою у теорії чисел і широко визнана як одна з найскладніших математичних проблем. Гіпотеза була вибрана в якості однієї з семи проблем тисячоліття, включених Математичним інститутом Клея до списку задач за які запропонована премію в розмірі 1 000 000 доларів за перше правильне доведення. Гіпотеза названа на честь математиків Браяна Берча та Пітера Свіннертона-Даєра, які сформулювали гіпотезу в першій половині 1960-х років за допомогою машинних обчислень. Станом на 2016 рік доведено лише окремі випадки гіпотези.

Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Годжа
Гіпотеза Пуанкаре*
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса
Рівняння Нав'є — Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
* доведені

Синій графік $\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ для рівняння $y^{2}=x^{3}-5x$.
$X$ знаходиться в межах перших 100000 простих чисел. Шкала абсцис — $\log(\log(X))$; шкала ординат знаходиться в логарифмічному масштабі. Гіпотеза передбачає, що графік повинен утворювати лінію нахилу, що дорівнює за рангом кривої, рівняння для якого він утворений. В разі $y^{2}=x^{3}-5x$ ранг кривої дорівнює 1. Червоним кольором, для прикладу, намальована лінія з рангом кривизни 1.

У пошуках відповіді на питання — за яких умов діофантови рівняння у вигляді алгебраїчних рівнянь мають рішення в цілих і раціональних числах, Брайан Берч і Пітер Свіннертона-Даєр на початку 1960-х років припустили, що ранг $r$ еліптичної кривої $E$ над $\mathbb {Q}$ рішень дорівнює порядку нуля дзета-функції Хассе — Вейля $E(L,s)$ в точці $s=1$. Більш детально, гіпотеза стверджує, що існує ненульова межа$B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {E(L,s)}{(s-1)^{r}}}$, де значення $B_{E}$ залежить від тонких арифметичних інваріантів кривих.

Найважливішим частковим результатом станом на 2011 рік залишається доведене в 1977 році Джоном Коутсом і Ендрю Вайлзом твердження, справедливе для великого класу еліптичних кривих про те, що якщо крива $E$ містить нескінченно багато раціональних точок, то $E(L,1)=0$$E(L,1)=0$.

Гіпотеза є єдиним відносно простим загальним способом обчислення рангу еліптичних кривих.

Література

• Коблиц Н. Введення в еліптичні криві і модулярні форми / під редакцією Ю. І. Маніна. — М. : Мир, 1988.
• Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. — М. : Мир, 1987.