Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Гіпотеза Берча — Свіннертона-Дайера описує множину раціональних розв'язків рівнянь, які визначають еліптичною кривою. Це є відкритою проблемою у теорії чисел і широко визнана як одна з найбільш складних математичних проблем. Гіпотеза була вибрана в якості однієї з семи проблем тисячоліття, включених Математичним інститутом Клея до списку задач за які запропонована премію в розмірі 1 000 000 доларів за перше правильне доведення.[1] Гіпотеза названа на честь математиків Брайана Берча[en] та Пітера Свіннертона-Даєра[en], які сформулювали гіпотезу в першій половині 1960-х років за допомогою машинних обчислень. Станом на 2016 рік доведено лише окремі випадки гіпотези.

Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Годжа
Гіпотеза Пуанкаре*
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса[en]
Рівняння Нав'є — Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
* доведені
Синій графікк для рівняння .
знаходиться в межах перших 100000 простих чисел. Шкала абсцис — ; шкала ординат знаходиться в логарифмічному масштабі. Гіпотеза передбачає, що графік повинен утворювати лінію нахилу, що дорівнює за рангом кривої, рівняння для якого він утворений. В разі ранг кривої дорівнює 1. Червоним кольором, для прикладу, намальована лінія з рангом кривизни 1.

У пошуках відповіді на питання — за яких умов діофантови рівняння у вигляді алгебраїчних рівнянь мають рішення в цілих і раціональних числах, Брайан Берч і Пітер Свіннертона-Дайер на початку 1960-х років припустили, що ранг еліптичної кривої над рішень дорівнює порядку нуля дзета-функції Хассе — Вейля в точці . Більш детально, гіпотеза стверджує, що існує ненульовий межа, де значення залежить від тонких арифметичних інваріантів кривих.

Найбільш важливим частковим результатом станом на 2011 рік залишається доведене в 1977 році Джоном Коутс і Ендрю Уайлсом твердження, справедливе для великого класу еліптичних кривих про те, що якщо крива містить нескінченно багато раціональних точок, то .

Гіпотеза є єдиним відносно простим загальним способом обчислення рангу еліптичних кривих .

ПриміткиРедагувати

  1. Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture at Clay Mathematics Institute

ЛітератураРедагувати

  • Коблиц Н. Введення в еліптичні криві і модулярні форми / під редакцією Ю. І. Маніна. — М. : Світ, 1988.
  • Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. — М. : Світ, 1987.