Теорія Фредгольма

розділ теорії інтегральних рівнянь

Теорія Фредгольма — розділ теорії інтегральних рівнянь; у вузькому сенсі — вивчає інтегральні рівняння Фредгольма, у широкому — абстрактна структура теорії дається в термінах спектральної теорії фредгольмових операторів і фредгольмових ядер у гільбертовому просторі.

Названо на честь основного розробника — шведського математика Еріка Івара Фредгольма.

Однорідні рівняння

ред.

Більша частина теорії Фредгольма стосується знаходження розв'язків інтегрального рівняння:

 .

Це рівняння природно виникає у багатьох задачах фізики та математики, як обернення диференціального рівняння. Тобто ставиться задача розв'язати диференціальне рівняння:

 ,

де функція   — задана, а   — невідома. Тут   — лінійний диференціальний оператор. Наприклад, можна взяти за   еліптичний оператор:

 ,

у такому разі розв'язуване рівняння стає рівнянням Пуассона. Загальний метод розв'язання таких рівнянь полягає в тому, щоб у вигляді функцій Гріна, тобто, не діючи безпосередньо, спробувати розв'язати рівняння:

 ,

де   — дельта-функція Дірака. Далі:

 .

Цей інтеграл написаний у формі інтегрального рівняння Фредгольма. Функція   відома як функція Гріна, або ядро інтеграла.

У загальній теорії,   і   можуть належати будь-якому многовиду; у найпростіших випадках — дійсній прямій або  -вимірному евклідовому простору. Загальна теорія також часто вимагає, щоб функції належали до заданого функціонального простору: часто, простору квадратично інтегровних функцій[en] або простору Соболєва.

Фактично використовуваний функціональний простір часто визначається в розв'язанні задачі на власні значення диференціального оператора; тобто за розв'язками:

  ,

де   — власні значення, а   — власні вектори. Множина власних векторів утворює банахів простір, а там, де існує природний скалярний добуток, то й гільбертів простір, у якому має місце теорема Ріса. Прикладами таких просторів є ортогональні многочлени, які зустрічаються у вигляді розв'язків класу звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

Якщо задати гільбертів простір, то ядро можна записати у формі:

 ,

де   — двоїстий до  . У такій формі об'єкт   часто називають оператором Фредгольма або ядром Фредгольма. Те, що це те саме ядро, випливає з повноти базису гільбертового простору, а саме:

 .

Оскільки   зазвичай зростає, то власні значення оператора   спадають до нуля.

Неоднорідні рівняння

ред.

Неоднорідне інтегральне рівняння Фредгольма:

 

можна написати формально як:

 .

Тоді формальний розв'язок:

 .

Розв'язок у цій формі відомий як резольвентний формалізм, де резольвенту визначено як оператор

 .

Заданого набору власних векторів та власних значень   можна зіставити резольвенту конкретного вигляду:

 

з розв'язком:

 .

Необхідна і достатня умова існування такого розв'язку — одна з теорем Фредгольма[en]. Резольвента зазвичай розкладається в ряд за степенями  , у такому разі вона відома як ряд Ліувілля — Неймана. Тоді інтегральне рівняння записується як:

 

Резольвента записується в альтернативній формі:

 .

Визначник Фредгольма

ред.

Визначник Фредгольма зазвичай визначають як:

 ,

де  ,   і так далі. Відповідна дзета-функція:

 

Дзета-функцію можна розглядати як визначник резольвенти. Дзета-функція відіграє важливу роль у вивченні динамічних систем; це той самий загальний тип дзета-функції, як і дзета-функція Рімана, проте в разі теорії Фредгольма відповідне ядро невідоме. Існування цього ядра відоме як гіпотеза Гільберта — Пої[en].

Основні результати

ред.

Класичні результати цієї теорії — це теореми Фредгольма, одна з яких — альтернатива Фредгольма.

Одним із важливих результатів загальної теорії є те, що вказане ядро — це компактний оператор, де простір функцій — це простір рівностепенево неперервних функцій.

Визначним спорідненим результатом є теорема про індекс, що стосується індексу еліптичних операторів на компактних многовидах.

Історія

ред.

Стаття Фредгольма 1903 року в Acta Mathematica[en] — одна з найважливіших віх у створенні теорії операторів. Давид Гільберт розвинув поняття гільбертового простору, зокрема у зв'язку з дослідженням інтегральних рівнянь Фредгольма.

Посилання

ред.

Література

ред.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.