Теорія Фредгольма

Теорія Фредгольма — розділ теорії інтегральних рівнянь; у вузькому сенсі — вивчає інтегральні рівняння Фредгольма, у широкому — абстрактна структура теорії дається в термінах спектральної теорії фредгольмових операторів і фредгольмових ядер у гільбертовому просторі.

Названо на честь основного розробника — шведського математика Еріка Івара Фредгольма.

Однорідні рівняння

Більша частина теорії Фредгольма стосується знаходження розв'язків інтегрального рівняння:

$g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy$.

Це рівняння природно виникає у багатьох задачах фізики та математики, як обернення диференціального рівняння. Тобто ставиться задача розв'язати диференціальне рівняння:

$Lg(x)=f(x)$,

де функція $f$ — задана, а $g$ — невідома. Тут $L$ — лінійний диференціальний оператор. Наприклад, можна взяти за $L$ еліптичний оператор:

$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$,

у такому разі розв'язуване рівняння стає рівнянням Пуассона. Загальний метод розв'язання таких рівнянь полягає в тому, щоб у вигляді функцій Гріна, тобто, не діючи безпосередньо, спробувати розв'язати рівняння:

$LK(x,y)=\delta (x-y)$,

де $\delta (x)$ — дельта-функція Дірака. Далі:

$g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy$.

Цей інтеграл написаний у формі інтегрального рівняння Фредгольма. Функція $K(x,y)$ відома як функція Гріна, або ядро інтеграла.

У загальній теорії, $x$ і $y$ можуть належати будь-якому многовиду; у найпростіших випадках — дійсній прямій або $m$-вимірному евклідовому простору. Загальна теорія також часто вимагає, щоб функції належали до заданого функціонального простору: часто, простору квадратично інтегровних функцій або простору Соболєва.

Фактично використовуваний функціональний простір часто визначається в розв'язанні задачі на власні значення диференціального оператора; тобто за розв'язками:

$L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)$ ,

де $\omega _{n}$ — власні значення, а $\psi _{n}(x)$ — власні вектори. Множина власних векторів утворює банахів простір, а там, де існує природний скалярний добуток, то й гільбертів простір, у якому має місце теорема Ріса. Прикладами таких просторів є ортогональні многочлени, які зустрічаються у вигляді розв'язків класу звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

Якщо задати гільбертів простір, то ядро можна записати у формі:

$K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}$,

де $\psi _{n}^{*}$ — двоїстий до $\psi _{n}$. У такій формі об'єкт $K(x,y)$ часто називають оператором Фредгольма або ядром Фредгольма. Те, що це те саме ядро, випливає з повноти базису гільбертового простору, а саме:

$\delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)$.

Оскільки $\omega _{n}$ зазвичай зростає, то власні значення оператора $K(x,y)$ спадають до нуля.

Неоднорідні рівняння

Неоднорідне інтегральне рівняння Фредгольма:

$f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy$

можна написати формально як:

$f=(K-\omega )\phi$.

Тоді формальний розв'язок:

$\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f$.

Розв'язок у цій формі відомий як резольвентний формалізм, де резольвенту визначено як оператор

$R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}$.

Заданого набору власних векторів та власних значень $K$ можна зіставити резольвенту конкретного вигляду:

$R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}$

з розв'язком:

$\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy$.

Необхідна і достатня умова існування такого розв'язку — одна з теорем Фредгольма. Резольвента зазвичай розкладається в ряд за степенями $\lambda =1/\omega$, у такому разі вона відома як ряд Ліувілля — Неймана. Тоді інтегральне рівняння записується як:

$g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy$

Резольвента записується в альтернативній формі:

$R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}$.

Визначник Фредгольма

Визначник Фредгольма зазвичай визначають як:

$\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]$,

де $\operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx$, $\operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$ і так далі. Відповідна дзета-функція:

$\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.$

Дзета-функцію можна розглядати як визначник резольвенти. Дзета-функція відіграє важливу роль у вивченні динамічних систем; це той самий загальний тип дзета-функції, як і дзета-функція Рімана, проте в разі теорії Фредгольма відповідне ядро невідоме. Існування цього ядра відоме як гіпотеза Гільберта — Пої.

Основні результати

Класичні результати цієї теорії — це теореми Фредгольма, одна з яких — альтернатива Фредгольма.

Одним із важливих результатів загальної теорії є те, що вказане ядро — це компактний оператор, де простір функцій — це простір рівностепенево неперервних функцій.

Визначним спорідненим результатом є теорема про індекс, що стосується індексу еліптичних операторів на компактних многовидах.

Історія

Стаття Фредгольма 1903 року в Acta Mathematica — одна з найважливіших віх у створенні теорії операторів. Давид Гільберт розвинув поняття гільбертового простору, зокрема у зв'язку з дослідженням інтегральних рівнянь Фредгольма.

Посилання

• E. I. Fredholm, «Sur une classe d'equations fonctionnelles», Acta Mathematica, 27 (1903) pp. 365—390.
• D. E. Edmunds and WD Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 .
• B. V. Kvedelidze, G. L. Літвінов (2001), «Фредолм кернел», в Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bruce K. Driver, Compact and Fredholm Operators and Spectral Theorem, Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579—600.
• Robert C. McOwen, " Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds ", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169—185.

Література

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.