В математиці, теорема Машке,[1][2] — теорема в теорії представлень груп щодо розкладу представлень скінченних груп на незвідні представлення. Теорема Машке дозволяє робити висновки про представленя скінченних груп G без їх обчислень. Вона зводить задачу класифікації всіх представлень до задачі класифікації незвідних представлень, на пряму суму яких розкладається довільне представлення.

ТвердженняРедагувати

Мовою теорії групРедагувати

Якщо V є представленням групи G над полем F характеристика якого не ділить порядок групи G і W є підпростором інваріантним щодо представлення, тоді існує інший підпростір U у V, що є інваріантим щодо представлення і V=WU.[3][4]

Як наслідок для довільного представлення групи G над полем характеристика якого не ділить порядок групи G, векторний простір V є прямою сумою підпросторів обмеження представлення на які є незвідними представленнями.[5][6]

Мовою теорії модулівРедагувати

При цьому підході до представлень скінченних груп, представлення групи G замінюється модулем над її груповою алгеброю K[G] (точніше існує ізоморфізм категорій між K[G]-Mod і RepG). Незвідні представлення при цьому відповідають простим модулям. Тоді теорему Машке можна сформулювати так:

Нехай Gскінченна група і K поле характеристика якого не ділить порядок групи G. Тоді K[G], групова алгебра групи G, є напівпростою. Як наслідок кожен модуль над K[G] є напівпростим модулем.

Оскільки для будь-якого представлення групи простір представлення можна вважати модулем множення елементів групи на якому визначається дією лінійного оператора в представленні групи, то попереднє формулювання теореми є наслідком формулювання для модулів і групових алгебр.

Цей варіант твердження дозволяє застосувати для вивчення представлень теорію напівпростих кілець, зокрема теорему Артіна - Веддерберна. Коли K є полем комплексних чисел, звідси випливає, що алгебра K[G] є добутком кількох копій комплексних матричних алгебр, по одній для кожного незвідного представлення. Кількість цих незвідних представлень при цьому рівна кількості класів спряженості групи. Якщо поле K має характеристику рівну нулю, але не є алгебрично замкнутим, наприклад, K є полем дійсних чи раціональних чисел, тоді групова алгебра K[G] є добутком матричних алгебр над деякими тілами над K. Доданки при цьому знову ж відповідають незвідним представленням групи G над K.

ДоведенняРедагувати

Нехай VK[G]-підмодуль. Доведемо, що V є прямим доданком. Нехай   — довільна K-лінійна проекція K[G] на V. Розглянемо відображення   задане як (зауважимо, що для можливості задання цього відображення критичним є те, що   не є рівним нулю у полі K; це є наслідком умови на характеристику поля і порядок групи):

 

Тоді відображення   є очевидно K-лінійним і відображає K[G] на V. Також для довільних   маємо  . Звідси для   отримуємо  , тобто відображення є тотожним на V. Крім того маємо

 

тому   є також K[G]-лінійним. Отож   є K[G]-лінійною проекцією і тому  . Тобто довільний підмодуль K[G] є прямим доданком, тож, K[G] є напівпростою алгеброю.

ПрикладиРедагувати

  • Нехай  симетричній групі перестановок n елементів. Для цієї групи існує природне представлення у n-вимірному векторному просторі над довільним полем. Це відображення задане так: якщо  базис такого простору, то лінійний оператор для перестановки   діє як  .
Очевидно, що одновимірний простір породжений вектором   буде інваріантним щодо вказаного представлення. Його доповненням буде простір породжений векторами  .
  • Доведена теорема є у загальному випадку невірною для нескінченних груп. Прикладом може бути нескінченна циклічна група — адитивна група цілих чисел. Відображення  , яке числу k ставить у відповідність матрицю   , є двовимірним представленням цієї групи, оскільки  . Одновимірний підпростір породжений вектором   є інваріантним відносно всіх операторів  , але для нього не знайдеться інваріантного доповнюючого підпростору, оскільки двовимірний простір V представлення   не має ніяких інших підпросторів, інваріантних відносно  . Справді, власні значення усіх матриць   рівні 1 і всі власні вектори є колінеарними  . Натомість для теореми існують узагальнення для деяких типів нескінченних груп, наприклад для компактних топологічних груп.
  • Умова на характеристику поля K є необхідною. Більш того, якщо характеристика поля K ділить порядок групи G то K[G] не є напівпростою алгеброю.
Для   визначимо  . Нехай  . тоді I є K[G]-підмодулем. Доведемо, що для кожного нетривіального підмодуля V алгебри K[G],  . Нехай V — деякий підмодуль, і нехай   - довільний ненульовий елемент у V. Якщо , то відразу  . В іншому випадку, нехай  . Тоді  , тож   і  , тож   є ненульовим елементом I і V. Це доводить, що V не є прямий доповненням I для всіх V, тож K[G] не є напівпростою алгеброю.

ПриміткиРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати