Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

Термін групова алгебра застосується до кількох щільно пов'язаних кілець, що можуть бути утворені з довільної групи . За допомогою поняття групової алгебри вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця.

Групова алгебра скінченої групи

ред.

Припустимо, що   — це скінчена група. Її групова алгебра   — це асоціативне кільце, що складається з формальних виразів

 

які додаються покомпонентно і для добутку яких виконується співвідношення

 

де у лівій частині розглядається добуток елементів  , а в правій частині — добуток   та   у   Одиниця групової алгебри — це елемент   що походить з нейтрального елемента групи   Аксіоми кільця в   випливають із означення, асоціативності множення та властивостей одиниці в групі   Кільце  комутативне тоді і тільки тоді, коли   — комутативна група. Загальнішим чином, групова алгебра   для довільного кільця   складається з лінійних комбінацій елементів   з коефіцієнтами з  

Категорна характеризація

ред.

Групова алгебра може бути цілком охарактеризована своєю універсальною властивістю. А саме, для будь-якого кільця   і гомоморфізма   групи   у мультиплікативну групу  , існує єдиний гомоморфізм   що продовжує  тобто задовольняє

 

для будь-якого елемента   який у лівий частині останньої тотожності розглядається як елемент  . Це — надзвичайно корисна властивість групової алгебри, тому що завдяки їй, будь-яке зображення групи   еквівалентне до модуля над груповою алгеброю   Зокрема, методи теорії кілець можуть бути застосовані до винаходження степенів і характерів незвідних і нерозкладних зображень  .

Впровадження групової алгебри також дозволяє дослідити залежність категорії зображень групи   над кільцем   від   Якщо, наприклад, маємо до мети зосередитися на дійсних зображеннях  , то потрібно розширите кільце коефіцієнтів до   а якщо бажаємо вивчати зображення над скінченим полем   із   елементів, то обираємо за кільце коефіцієнтів   (замість  ).

Групова алгебра локально-компактної топологічної групи

ред.

Означення групової алгебри можна поширити на випадок довільної (взагалі, нескінченої) групи   якщо у наведеному вище означенні обмежитися скінченими лінійними комбінаціями елементів   (тобто,   за винятком скінченої підмножини  ). Але більш змістовним є означення групової алгебри, що бере до уваги топологію групи   і таке, що спроваджується універсальна властивість щодо неперервних гомоморфізмів   у певний клас топологічних кілець   (порів. вище). Зокрема, кільце   цілих чисел поширюється до поля   комплексних чисел. У випадку локально компактної топологічної групи, групова алгебра утворюється за кілька стадій. Спочатку розглядається банахова алгебра   інтегрованих за Лебегом функцій на  . Додавання функцій поточкове, як і раніше, а от добуток визначається як згортка функцій:

 

де   — це ліва міра Хаара на   Таким чином отримуємо топологічну *-алгебру, з інволюцією

 

де   — це модулярна функція міри Хаара. А далі ця алгебра поповнюється до C*-алгебри  

Див. також

ред.

Література

ред.
  • Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М, Наука, 1978.