Банахова алгебра

(Перенаправлено з Банаха алгебра)

Банахова алгебра — це топологічна алгебра над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.

Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням

За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо тому норму в можна замінити на еквівалентну, що задовольняє

Банахова алгебра називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент такий, що Якщо не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру з одиницею і нормою що містить алгебру як замкнуту підалгебру. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.

ПрикладиРедагувати

1) Нехай   — компактний топологічний простір,   — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на  . Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

 

2) Простір   послідовностей   для яких   з нормою   звичайним додаванням і добутком за формулою

 

3) Множина   всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі   утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі  .

4) Групова алгебра   локально компактної топологічної групи   де добуток — це згортка функцій на  


СпектриРедагувати

  • Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри — непорожній компакт. Для будь-якого компакта   спектр   на   збігається з  , тобто інших обмежень немає.
  • Спектральним радіусом   елемента   називається   Для нього існує формула спектрального радіуса  
  • Якщо   -унітальний (переводить одиницю   в одиницю  ) гомоморфізм, то для будь-якого   виконане  . Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується.
  • Якщо   — многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді  . Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.

Алгебри з інволюцією та алгебриРедагувати

Докладніше: *-алгебра

У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення   до себе,  

Елемент   називається:

  • нормальним, якщо  
  • ермітовим, якщо  
  • унітарним, якщо  

Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.

Алгебра   обмежених операторів на гільбертовому просторі   являє собою банахову алгебру з інволюцією, де   — це спряжений до оператора  . Виникає природне питання, чи можна реалізувати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру   Це питання було повністю розв'язано І. М. Гельфандом і М. А. Наймарком.

Банахова алгебра з інволюцією   називається  алгеброю, якщо виконується тотожність

  для всіх  

Неважко побачити, що в алгебрі   це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка  алгебра   допускає точне *-зображення у   Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.

І. М. Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна  алгебра з одиницею має вигляд   (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір   можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри  , або її максимальні ідеали,   Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну)  алгебру   як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі  .

Теорія  алгебр використовується в теорії зображень і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — 664 с.
  • Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М. : МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
  • Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М. : Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5.