Теорема Аміцура — Левицького
Теорема Аміцура — Левицького — твердження про рівність нулю стандартного многочлена степеня від довільних матриць порядку . Прямий наслідок цього результату — матриці порядку утворюють кільце з поліноміальними залежностями з мінімальним ступенем тотожності, що дорівнює .
Теорема вперше доведена ізраїльськими математиками Шімшоном Аміцуром і Яковом Левицьким у 1950 році.
Згодом було дано кілька принципово інших доведень. Бертран Костант у 1958 році вивів теорему Аміцура — Левицького з теореми Кошуля — Самельсона про примітивні когомології алгебр Лі. Річард Сван у 1963 році дав просте доведення на основі теорії графів.
Юрій Размислов у 1974 році побудував доведення, що спирається на теорему Гамільтона — Келі. Шмуель Россет у 1976 році подав коротке доведення, що використовує зовнішню алгебру векторного простору розмірності.
Означення та формулювання
ред.Стандартним многочленом степеня називається многочлен:
- ,
де сума береться за всіма елементами симетричної групи . Тут позначає знак перестановки і елементи не комутують між собою.
Теорема Аміцура — Левицького стверджує, що для довільних матриць порядку з елементами із деякого комутативного кільця R, стандартний многочлен від цих матриць є рівним нулю:
- .
Доведення
ред.Тут подано доведення Размислова на основі такого твердження із лінійної алгебри:
Лема
ред.Нехай C — комутативна -алгебра з одиницею і — матриця для якої Тоді також
Доведення леми
ред.Згідно теореми Гамільтона — Келі матриця A є коренем свого характеристичного многочлена:
- Але на основі тотожностей Ньютона, характеристичний многочлен можна записати де всі многочлени мають раціональні коефіцієнти і нульові вільні члени окрім З рівності нулю слідів степенів матриці отримуємо, що і а тому
Доведення теореми
ред.Якщо всі елементи деякого кільця R задовольнять рівності то для довільного комутативного кільця A також елементи тензорного добутку задовольняють цій же рівності. Справді, оскільки є полілінійним (тобто для всіх змінних) достатньо довести, що вказана рівність виконується при підстановці Дійсно,
- .
Оскільки і то з попереднього випливає, що твердження достатньо довести для матриць із .
Розглянемо тепер зовнішню алгебру над векторним простором над розмірності 2n із базисом Підалгебра цієї алгебри елементами якої є елементи парних компонент у градації є комутативною.
Нехай — довільні елементи з і позначимо
Тоді і
Також можна записати
Для стандартних многочленів виконуються рівності
Звідси можна записати:
Отож кожен доданок у виразі для матриць можна записати як комутатор двох матриць. З огляду на те, що слід комутатора двох матриць дорівнює нулю, то сліди всіх цих доданків, а тому і сліди всіх матриць є рівними нулю. Згідно леми тоді також і звідси
Література
ред.- Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1950), Minimal identities for algebras (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society]], 1: 449—463, doi:10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9, ISSN 0002-9939, JSTOR 2032312, MR 0036751
- Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1951), Remarks on Minimal identities for algebras (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 2: 320—327, doi:10.2307/2032509, ISSN 0002-9939, JSTOR 2032509
- Drensky, Vesselin; Formanek, Edward (2004), Polynomial Identity Rings, Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-7934-7
- Formanek, Edward (1991), The polynomial identities and invariants of n×n matrices, Regional Conference Series in Mathematics, т. 78, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0730-7, Zbl 0714.16001
- Kostant, Bertram (1958), A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur–Levitski and cohomology theory, J. Math. Mech., 7: 237—264, doi:10.1512/iumj.1958.7.07019, MR 0092755
- Ю. П. Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1974. — Т. 38, вип. 4. — С. 727. — ISSN 0373-2436. — DOI: .
- Rosset, Shmuel (1976), A new proof of the Amitsur–Levitski identity, Israel Journal of Mathematics, 23 (2): 187—188, doi:10.1007/BF02756797, ISSN 0021-2172, MR 0401804
- Rowen, Louis Halle (1980), Polynomial identities in ring theory, Pure and Applied Mathematics, т. 84, New York: Academic Press Inc., с. xx+365, ISBN 0-12-599850-3, MR 0576061
- Swan, Richard G. (1963), An application of graph theory to algebra (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 14: 367—373, doi:10.2307/2033801, ISSN 0002-9939, JSTOR 2033801, MR 0149468
- Swan, Richard G. (1969), Correction to "An application of graph theory to algebra" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 21: 379—380, doi:10.2307/2037008, ISSN 0002-9939, JSTOR 2037008, MR 0255439
- Procesi, Claudio (2013), On the theorem of Amitsur--Levitzki