Відкрити головне меню

Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці до її характеристичного полінома тотожно дорівнює нулю:

Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від матриці як лінійні комбінації

Зміст

Пояснення та прикладиРедагувати

Оскільки результатом додавання, множення та множення на скаляр квадратних матриць є квадратна матриця, то можна конструювати поліноми з матриць.

Тому для довільного полінома   можливо розглянути вираз

 

який є квадратною матрицею того самого порядка, що й  

ПрикладРедагувати

 

Тоді  

ДоведенняРедагувати

Часткові випадкиРедагувати

  • Доведемо теорему для матриць 2x2.

Маємо   тому

 

Якщо   — діагональна матриця і   — поліном, то

 

Для характеристичного полінома   тому одержуємо  

Загальний випадокРедагувати

Позначимо через   союзну матрицю для характеристичної матриці  

Елементи матриці В є алгебраїчними доповненнями елементів визначника   і тому є многочленами від λ, степені не вище n-1. Отже матрицю В можна представити у вигляді полінома з матричними коефіцієнтами:

 

За властивостями союзних матриць:

 

Нехай:

 

Підставимо і отримаємо:

 

Розкриваючи дужки і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях λ, одержимо:

 
 
 

Помножимо ці рівності відповідно на   справа і додамо. Всі члени правої частини скоротяться і ми одержимо

 

ДжерелаРедагувати