Модуль над кільцем

(Перенаправлено з Множення на скаляр)

Модуль над кільцемалгебраїчна структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

Модуль є адитивною абелевою групою де визначене множення між елементами кільця скалярів та елементами модуля і воно є асоціативним (між елементами кільця) та дистрибутивним.

ВизначенняРедагувати

Коли задано -кільце, то -модулем називається абелева группа   з додатковою операцією множення на елементи кільця  ,

що задовільняє наступні умови  

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  .

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

 , що зручніше записувати як  , звідки походить назва.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізмРедагувати

  • Підмодулем модуля   називається підгрупа групи  , замкнута відносно множення на елементи з  .
  • Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою ( ), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
  • Гомоморфізмом  -модулів   та   називається гомоморфізм груп  , для якого виконується умова  . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають  .

ПрикладиРедагувати

  • Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел ( -модуль).
  • Лінійний простір над полем   є модулем над полем  .
  • Лінійний простір   — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень  .

ІсторіяРедагувати

Найпростіші  -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967