Клас Штіфеля — Вітні

Клас Штіфеля — Вітні — певний характеристичний клас, що відповідає дійсному векторному розшаруванню $E\rightarrow X$. Зазвичай позначається через $w(E)$. Приймає значення в кільці когомологій $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$, з коефіцієнтами в $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Компонента $w(E)$ в $i$-ій групі когомологій $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ позначається $w_{i}(E)$ і називається $i$-им класом Штіфеля — Вітні розшарування $E$, і формально можна записати

$w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.$

Класи $w_{i}(E)$ є перешкодами в $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ до побудови $(n-i+1)$-го лінійно незалежного перетину $E$, обмеженого на $i$-й кістяк $X$.

Аксіоматичне означення

Тут і далі, $H^{i}(X;\;G)$ позначає сингулярні когомології простору $X$ з коефіцієнтами в групі $G$.

Клас Штіфеля — Вітні визначається як відображення, що зіставляють розшаруванню $E$ елемент кільця когомологій $w(E)$ так, що виконуються наступні аксіоми:

1. Природність: $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ для будь-якого розшарування $E\to X$ і відображення $f:X'\to X$, де $f^{*}E$ позначає відповідне індуковане розшарування над $X'$.
2. $w_{0}(E)=1$ в $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.
3. $w_{1}(\gamma ^{1})$ є ненульовим, де $\gamma ^{1}$ — тавтологічну розшаруванні. Іншими словами клас $w(\gamma ^{1})$ не є тривіальним.
4. $w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$ (формула добутку Вітні). Формула в правій частині є формальним записом і може бути записана через класи Штіфеля — Вітні як $w_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}w_{i}(E)\smallsmile w_{k-i}(F),$ де $\smallsmile$ позначає кап-добуток.

Можна показати, що класи, які задовольняють цим аксіомам, існують і є єдиними.

Початкова побудова

Класи Штіфеля — Вітні $w_{i}(E)$ були запропоновані Едуардом Штіфелем і Хасслером Вітні як приведення по модулю 2 класів, що вимірюють перешкоди до побудови $(n-i+1)$-го лінійно незалежного перетину $E$, обмеженого на $i$-ий остов $X$. (Тут $n$ — розмірність шару $F$ розшарування $E$).

Більш точно, якщо $X$ є CW-комплексом, Вітні визначив класи $W_{i}(E)$ в $i$-й групі клітинних когомологій $X$ з нестандартними коефіцієнтами.

А саме, як коефіцієнти можна взяти $(i-1)$-а гомотопічна група многовиду Штіфеля $V_{n-i+1}(F)$ наборів з $n-i+1$ лінійно незалежних векторів в шарі $F$. Вітні довів, що для побудованих ним класів $W_{i}(E)=0$ тоді і тільки тоді, коли розшарування $E$, обмежене на $i$-остов $X$, має $n-i+1$ лінійно незалежний перетин.

Оскільки гомотопічна група $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ многовиду Штіфеля завжди або є нескінченною циклічною, або ізоморфною $\mathbb {Z} _{2}$, то існує канонічна редукція класів $w_{i}(E)$ до класів $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$, які і називаються класами Штіфеля — Вітні.

Зокрема, якщо $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}$, то ці класи просто збігаються.

Пов'язані означення

• Для многовида розмірності $n$, будь-який добуток класів Штіфеля — Вітні загального степеня $n$ може бути спареним з $\mathbb {Z} _{2}$ фундаментальна класом цього многовида, даючи в результаті елемент $\mathbb {Z} _{2}$; такі числа називають числами Штіфеля — Вітні векторного розшарування. Наприклад, для розшарування на тривимірному многовиді є три лінійно незалежних числа Штіфеля — Вітні, що відповідають $w_{1}^{3}$, $w_{1}w_{2}$ і $w_{3}$. У загальному випадку, якщо многовид є $n$-вимірним, різні числа Штіфеля — Вітні відповідають розбиттю $n$ в суму цілих доданків.
  • Числа Штіфеля — Вітні дотичного розшарування до гладкого многовида називаються числами Штіфеля — Вітні цього многовид. Вони є інваріантами кобордизмів.
• Природному відображенню приведення по модулю два, $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}$, відповідає гомоморфізм Бокштейна

  $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

Образ класу $w_{i}$ під його дією, $\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )$, називається $(i+1)$-им цілим класом Штіфеля — Вітні.

• Зокрема, третій цілий клас Штіфеля — Вітні є перешкодою до побудови $\mathrm {Spin} ^{C}$-структури.

Властивості

• Якщо розшарування $E^{k}$ має $s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell }$ перетинів, лінійно незалежних над кожною точкою, то $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$. Зокрема оскільки тривіальне розшарування рангу $k$ завжди має $k$ лінійно незалежних перетинів то для тривіальних розшарувань $w_{n}=0,\;n>0.$
• З попереднього також для тривіального розшарування $E$ і довільного векторного розшарування $F$ виконується рівність $w_{i}(E\oplus F)=w_{i}(F),\;\forall i\geqslant 0.$
• $w_{i}(E)=0$ при $i>\mathrm {rank} (E)$.
• Перший клас Штіфеля — Вітні рівний нулю тоді і тільки тоді, коли розшарування є орієнтовним. Зокрема, многовид $M$ є орієнтовним тоді і тільки тоді, коли $w_{1}(TM)=0$.
• Розшарування допускає спінорну структуру, тоді і тільки тоді, коли перший і другий класи Штіфеля — Вітні обидва рівні нулю.
• Для орієнтовного розшарування, другий клас Штіфеля — Вітні лежить в образі природного відображення $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ (або, що те ж саме, так званий третій цілий клас Штіфеля — Вітні наближається до нуля) тоді і тільки тоді, коли розшарування допускає $\mathrm {Spin} ^{C}$-структуру.
• Всі числа Штіфеля - Вітні гладкого компактного многовида $X$ рівні нулю тоді і тільки тоді, коли цей многовид є границею (без урахування орієнтації) гладкого компактного многовида.

Приклади

• Загальний клас Штіфеля — Вітні довільного тривіального векторного розшарування рівний 1, тобто $w_{n}=0,\;n>0.$
• Для дотичного розшарування над одиничною сферою $S^{n}$ клас Штіфеля — Вітні теж рівний 1. Тобто за допомогою класів Штіфеля — Вітні дотичне розшарування не можливо відрізнити від тривіального хоча не для всіх сфер дотичне розшарування є тривіальним.
• Нехай $P^{n}$ — проективний простір розмірності n. Тоді сингулярні групи когомологій $H^{i}(P^{n};\;\mathbb {Z} _{2})$ є циклічними групами порядку 2 для $i\leqslant n$ і є нульовою групою для інших значень. До того ж якщо a — ненульовий елемент групи $H^{1}(P^{n};\;\mathbb {Z} _{2})$ то i-кратний кап-добуток a на самого себе є ненульовим елементом групи $H^{i}(P^{n};\;\mathbb {Z} _{2}).$ При цих позначеннях для тавтологічного розшарування $w(\gamma ^{n})=1+a.$
• В тих же позначеннях, що і в попередньому пункті, якщо $\gamma _{\perp }^{n}$ — ортогональне доповнення тавтологічного розшарування, то $w(\gamma _{\perp }^{n})=1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots +a^{n}.$
• $w(P^{n})=(1+a)^{n+1}.$ Зокрема $w(P^{n})=1$ тоді і тільки тоді коли n + 1 є степенем 2.

Література

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — Москва: Мир, 1979. — 371 с.