Вага (теорія представлень)

У теорії представлень вагою алгебри A над полем F називається гомоморфізм із A у поле F, або еквівалентно одновимірне представлення A над полем F. Воно є певною мірою аналогом мультиплікативного характеру групи. Подібне поняття також є для алгебр Лі, у цьому випадку вага представлення є узагальненням власного значення, і відповідний власний простір називається ваговим простором.

Мотивація і загальне поняття

Для множини матриць S , кожна з яких є діагоналізовною і які комутують завжди можна одночасно діагоналізувати всі елементи S. У випадку алгебрично замкнутого поля це еквівалентно тому, що будь-яка множина S напівпростих лінійних операторів скінченновимірного векторного простору V існує базис простору V елементи якого є власними векторами усіх лінійних операторів із S. Кожен із цих спільних власних векторів v ∈ V визначає лінійний функціонал на підалгебрі U у End(V) породженій множиною S; цей функціонал зіставляє кожному елементу U його власне значення для власного вектора v. Це відображення є мультиплікативним, і образом одиничного відображення є 1; тобто дане відображення є гомоморфізмом алгебри U у базове поля. Це узагальнення власного значення є прототипом поняття ваги.

Поняття ваги є пов'язаним із поняттям мультиплікативного характеру у теорії груп, тобто із гомоморфізмом χ із групи G у мультиплікативну групу поля F. Відображення χ: G → F^× задовольняє χ(e) = 1 (де e є одиничним елементом G) і

\chi (gh)=\chi (g)\chi (h)

для всіх g, h у G.

Справді, якщо G діє на векторному просторі V над полем F, кожен власний простір для усіх елементів G, якщо такий існує, задає мультиплікативний характер на G: власне значення на цьому спільному власному просторі для кожного елемента групи.

Поняття мультиплікативного характеру можна розширити для кожної алгебри A над полем F, замінивши χ: G → F^× на лінійний функціонал χ: A → F для якого:

\chi (ab)=\chi (a)\chi (b)

для всіх a, b у A. Якщо алгебра A діє на векторному просторі V над полем F то будь-який спільний власний простір задає гомоморфізм із A у F, що присвоює кожному елементу A його власне значення.

Якщо A є алгеброю Лі (яка загалом не є асоціативною алгеброю), тоді замість вимоги мультиплікативності характеру вимагається щоб він відображав дужки Лі у відповідний комутатор; але оскільки F є комутативним це означає що значення характеру має бути рівним нулю: χ([a,b])=0.

Вагою на алгебрі Лі g над полем F називається лінійне відображення λ: g → F із λ([x, y])=0 для всіх x, y у g. Відповідно будь-яка вага на алгебрі Лі g є рівною нулю на похідній алгебрі [g,g] і тому повністю визначається вагою на комутативній алгебрі Лі g/[g,g]. Тому фактично поняття ваги становить інтерес саме для комутативних алгебр Лі, де вони зводяться до поняття узагальненого власного значення для комутуючих лінійних операторів.

Якщо G є групою Лі або алгебричною групою, то мультиплікативний характер θ: G → F^× задає вагу χ = dθ: g → F на відповідній алгебрі Лі за допомогою диференціювання.

Ваги у теорії представлень напівпростих алгебр Лі

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — напівпроста алгебра Лі над алгебрично замкнутим полем і ${\mathfrak {h}}$ — її підалгебра Картана. Підалгебра Картана є комутативною і тому для неї має зміст поняття ваги як воно подано у вступному розділі. Ці поняття зокрема також специфічне поняття коренів (які є ненульовими вагами для приєднаного представлення) відіграють ключову роль у вивченні і класифікації напівпростих алгебр Лі і їх представлень.

Вага представлення

Приклад ваг представлення алгебри Лі sl(3,C)

Нехай V — представлення алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ над алгебрично замкнутим полем F і λ — лінійний функціонал на ${\mathfrak {h}}$ . Тоді ваговим простором V з вагою λ називається підпростір $V_{\lambda }$ за означенням рівний

V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad H\cdot v=\lambda (H)v\}

.

Вагою представлення V називається лінійний функціонал λ для якого ваговий простір є ненульовим. Ненульові елементи вагового простору називаються ваговими векторами. Вагові вектори є одночасно власними векторами для дії усіх елементів ${\mathfrak {h}}$ . Відповідні власні значення задає функціонал λ.

Множина

V'=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }

є прямою сумою різних вагових просторів і V' є підмодулем V. Якщо V = V' то V називається ваговим модулем. Зокрема у випадку скінченновимірних представлень V завжди є рівним прямій сумі своїх вагових просторів. Звідси випливає також скінченність множини ваг у цьому випадку.

Дія кореневих векторів

Якщо V є приєднаним представленням алгебри ${\mathfrak {g}}$ то ненульові ваги V називаються коренями, вагові простори називаються кореневими просторами, а вагові вектори - кореневими векторами. А саме, лінійний функціонал $\alpha$ на ${\mathfrak {h}}$ називається коренем, якщо $\alpha \neq 0$ і існує ненульовий $X$ у ${\mathfrak {g}}$ для якого

[H,X]=\alpha (H)X

для всіх $H$ у ${\mathfrak {h}}$ . Корені напівпростої алгебри Лі утворюють систему коренів у абстрактному означенні.

Система коренів повністю визначає відповідну напівпросту алгебру Лі і використовується для їх класифікації. Для теорії представлень основне значення має такий результат: Якщо V є представленням ${\mathfrak {g}}$ , v є ваговим вектором з вагою $\lambda$ і X — кореневим вектором з коренем $\alpha$ , то

H\cdot (X\cdot v)=[(\lambda +\alpha )(H)](X\cdot v)

для всіх H у ${\mathfrak {h}}$ . Тобто $X\cdot v$ є або нульовим вектором або ваговим вектором з вагою $\lambda +\alpha$ . Тобто при дії $X$ ваговий простір з вагою $\lambda$ відображається у ваговий простір з вагою $\lambda +\alpha$ .

Цілочисловий елемент

Цілочислові елементи (трикутна ґратка), домінантні цілочислові елементи (чорні точки), і фундаментальні ваги для sl(3,C)

Нехай ${\mathfrak {h}}_{0}^{*}$ — дійсний простір ${\mathfrak {h}}^{*}$ що є дійсною оболонкою коренів ${\mathfrak {g}}$ . Введемо на ньому скалярний добуток одержаний із форми Кіллінга. Вся ця побудова має зміст оскільки усі значення форми Кіллінга на коренях є раціональними числами і форму можна лінійно поширити на дійсну лінійну оболонку отримавши при цьому скалярний добуток. Цей скалярний добуток також буде інваріантним щодо групи Вейля, яка є породженою відбиттями щодо гіперплощин ортогональних до коренів. За допомогою скалярного добутку можна ідентифікувати ${\mathfrak {h}}_{0}^{*}$ із відповідним простором ${\mathfrak {h}}_{0}$ . Також можна ввести поняття кокореня для кореня $\alpha$ як

H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}

.

Елемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}$ називається цілочисловим якщо

\langle \lambda ,H_{\alpha }\rangle =2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\in \mathbf {Z}

для всіх коренів $\alpha$ . Мотивацією для цієї умови є те що кокорінь $H_{\alpha }$ можна ідентифікувати із елементом H у стандартній базі ${X,Y,H}$ для sl(2,F)-підалгебри у g.^[1] Відповідно до стандартних результатів для sl(2,F), власні значення $H_{\alpha }$ для будь-якого скінченновимірного представлення є цілими числами. Тому вага будь-якого скінченновимірного представлення ${\mathfrak {g}}$ є цілочисловою.^[2]

Фундаментальними вагами $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ називаються ваги, що утворюють базис у ${\mathfrak {h}}_{0}$ що є двоїстим до множини кокоренів, що відповідають простим кореням. Тобто фундаментальні ваги задаються умовами

2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{i,j}

де $\alpha _{1},\ldots \alpha _{n}$ є простими коренями. Елемент $\lambda$ є цілочисловим, якщо і тільки якщо він є цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг.^[3] Множина всіх ${\mathfrak {g}}$ -цілочислових ваг є ґраткою у ${\mathfrak {h}}_{0},$ що називається ваговою ґраткою для ${\mathfrak {g}}$ і позначається $P({\mathfrak {g}})$ .

На малюнку зображено приклад алгебри Лі sl(2,F), система коренів якої є системою $A_{2}$ . У цьому випадку є два прості корені, $\gamma _{1}$ і $\gamma _{2}$ . Перша фундаментальна вага, $\omega _{1}$ , є ортогональною до $\gamma _{2}$ і ортогонально відображається на половину $\gamma _{1}$ ; подібні властивості також виконуються для $\omega _{2}$ . Ваговою ґраткою у цьому випадку є трикутна ґратка.

Якщо алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ є алгеброю Лі групи Лі G то $\lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}$ називається аналітично цілочисловим (G-цілочисловим) елементом якщо кожен t у ${\mathfrak {h}}$ для якого $\exp(t)=1\in G$ задовольняє властивість $\langle \lambda ,t\rangle \in 2\pi i\mathbf {Z}$ . Якщо представлення ${\mathfrak {g}}$ є диференціалом представлення G, тоді будь-яка вага представлення буде G-цілочисловою.^[4] Для напівпростої групи G множина всіх G-цілочислових ваг є підґраткою P(G) ⊂ P( ${\mathfrak {g}}$ ). Якщо G є однозв'язною, то P(G) = P( ${\mathfrak {g}}$ ). Якщо G не є однозв'язною, то ґратка P(G) є меншою P( ${\mathfrak {g}}$ ) і їх факторгрупа є ізоморфною фундаментальній групі G.^[5]

Часткове впорядкування на множині ваг

На множині ваг можна ввести часткове упорядкування, яке використовується при описі і класифікації представлень алгебри g. Нехай R — множина коренів і $R^{+}$ — додатні корені.

Нехай $\mu$ і $\lambda$ — два елементи у ${\mathfrak {h}}_{0}$ . Елемент $\mu$ називається вищим або старшим, ніж $\lambda$ (позначається $\mu \succeq \lambda$ ), якщо $\mu -\lambda$ є лінійною комбінацією додатних коренів із невід'ємними цілими коефіцієнтами.^[6]

Домінантні ваги

Цілочисловий елемент λ називається домінантним якщо $\langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0$ для кожного додатного кореня γ. Еквівалентно, λ є домінантним якщо він є невід'ємною цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг. У випадку $A_{2}$ , домінантні цілочислові елементи належать сектору із кутом 60 градусів.

Множина всіх λ (не обов'язково цілочислових) для яких $\langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0$ називається замкнутою фундаментальною камерою Вейля асоційованою із даною множиною додатних коренів.

Теорема про старшу вагу

Вага $\lambda$ представлення $V$ алгебри ${\mathfrak {g}}$ називається старшою вагою якщо кожна інша вага $V$ є меншою, ніж $\lambda$ .

Представлення (не обов'язково скінченновимірне) V ${\mathfrak {g}}$ називається модулем найвищої ваги якщо воно є породжене ваговим вектором v ∈ V який переходить у нуль при дії будь-якого додатного кореневого вектора у ${\mathfrak {g}}$ . Кожен незвідний ${\mathfrak {g}}$ -модуль із старшою вагою є модулем старшої ваги, але у нескінченновимірному випадку, модуль старшої ваги може не бути незвідним.

Теорія незвідних представлень алгебри ${\mathfrak {g}}$ значною мірою будується на ідеї старшої ваги. Ключовим результатом тут є теорема про старшу вагу, яка стверджує що

(1) Для кожного незвідного скінченновимірного представлення існує старша вага,

(2) Старша вага є завжди домінантним, цілочисловим елементом,

(3) Два незвідні (можливо нескінченновимірні) представлення із однаковою старшою вагою є ізоморфними,

(4) Кожен елемент є старшою вагою деякого незвідного представлення,

(5) Представлення зі старшою вагою є скінченновимірним тоді і тільки тоді коли ця вага є цілочисловою і домінантною. Таким чином існує ізоморфізм між домінантними цілочисловими вагами і класами ізоморфізму скінченновимірних незвідних представлень алгебри Лі.

Ваги незвідних скінченновимірних представлень

Якщо $\lambda$ є вагою деякого незвідного скінченновимірного представлення, а $\alpha$ — коренем алгебри Лі, то існують цілі числа $r\geqslant 0\geqslant q$ для яких $r-q=2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}$ і всі лінійні функціонали виду $\lambda +i\alpha ,\;\;r\geqslant i\geqslant q$ є вагами, тобто утворюється неперервна послідовність елементи якої відрізняються на $\alpha$ . До того ж відбиття у щодо гіперплощини ортогональної до $\alpha$ просто розвертає порядок у цій послідовності. Зокрема якщо $\lambda$ є старшою вагою, то для всіх $\alpha$ число r є рівним нулю.

Для незвідного скінченновимірного представлення із старшою вагою $\lambda$ цілочисловий елемент $\alpha$ є вагою тоді і тільки тоді, коли він і всі його спряжені щодо дії групи Вейля елементи є нижчими, ніж $\lambda$ .

Для розмірності незвідного скінченновимірного представлення $V_{\lambda }$ із старшою вагою $\lambda$ виконується формула Вейля

\dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in R^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in R^{+}}(\rho ,\alpha )}

де $\rho$ позначає суму додатних коренів поділену на 2.

Якщо $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ є системою фундаментальних ваг, то $V_{\omega _{i}}$ називаються фундаментальними незвідними модулями.

Значення фундаментальних незвідних модулів полягає у тому, що якщо вони відомі, то всі інші незвідні скінченновимірні модулі (що перебувають у взаємно однозначній відповідності із цілочисловими домінантними вагами) отримуються як підмодулі їх тензорних добутків. Зокрема якщо $\lambda =m_{1}\omega _{1}+\ldots +m_{n}\omega _{n}$ то $V_{\lambda }$ є підмодулем тензорного добутку $\bigotimes _{i=1}^{n}V_{\omega _{i}}^{m_{i}}$ , де $V_{\omega _{i}}^{m_{i}}$ позначає тензорний степінь.

Модулі $V_{\omega _{1}}$ , що відповідають фундаментальним вагам $\omega _{1}$ називаються базовими фундаментальними. Більшість інших фундаментальних модулів можна отримати як зовнішні добутки базових фундаментальних модулів.

Зокрема для класичних алгебр типу A_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною n+1, а всі інші фундаментальні модулі отримуються як $V_{\omega _{i}}=\wedge ^{i}V_{\omega _{1}}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{\omega _{i}}=C_{n+1}^{i},$ де $C_{n+1}^{i}$ позначає біноміальний коефіцієнт.

Для класичних алгебр типу B_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n+1, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n-1}$ отримуються як $V_{\omega _{i}}=\wedge ^{i}V_{\omega _{1}}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{\omega _{i}}=C_{2n+1}^{i}.$ Фундаментальний модуль для фундаментальної ваги $\omega _{n}$ для алгебри B_n має розмірність 2ⁿ і його можна отримати із алгебри Кліффорда простору $V_{\omega _{1}}$ .

Для класичних алгебр типу D_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n-2}$ отримуються як $V_{\omega _{i}}=\wedge ^{i}V_{\omega _{1}}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{\omega _{i}}=C_{2n}^{i}.$ Фундаментальні модулі для фундаментальних ваг $\omega _{n-1},\omega _{n}$ для алгебри D_n обидва мають розмірність 2ⁿ і їх можна отримати із алгебри Кліффорда простору $V_{\omega _{1}}$ .

Для класичних алгебр типу C_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для інших фундаментальних ваг отримуються як ядра деяких лінійних відображень із $\wedge ^{i}V_{\omega _{1}}$ у $\wedge ^{i-2}V_{\omega _{1}}$ і для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{\omega _{i}}=C_{2n}^{i}-C_{2n}^{i-2}.$

Примітки

↑ Hall, 2015 Theorem 7.19 і Eq. (7.9)
↑ Hall, 2015 Proposition 9.2
↑ Hall, 2015 Proposition 8.36
↑ Hall, 2015 Proposition 12.5
↑ Hall, 2015 Corollary 13.8 і Corollary 13.20
↑ Hall, 2015 означення 8.39

Див. також

Напівпроста алгебра Лі

Література

Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85138-6
R. Carter, I. Macdonald, G. Segal Lectures on Lie groups and Lie algebras (London Mathematical Society Student texts Vol. 32). 5th ed. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-49579-2
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666
Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN 978-0-486-46282-0

[1] Hall, 2015 Theorem 7.19 і Eq. (7.9)

[2] Hall, 2015 Proposition 9.2

[3] Hall, 2015 Proposition 8.36

[4] Hall, 2015 Proposition 12.5

[5] Hall, 2015 Corollary 13.8 і Corollary 13.20

[6] Hall, 2015 означення 8.39

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]