Бета-розподіл

Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Бета-розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\alpha >0$ $\beta >0$
Носій функції	$x\in [0,1]\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$I_{x}(\alpha ,\beta )\!$
Середнє	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$
Мода	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!$ для $\alpha >1,\beta >1$
Дисперсія	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Коефіцієнт ексцесу	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!$
Твірна функція моментів (mgf)	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
Характеристична функція	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!$

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задаєтся густиною ймовірності $f_{X}$, що має вигляд:

$f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}$,

де

• $\alpha ,\beta >0$ довільні фіксовані параметри, і
• $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ — бета-функція.

Тоді випадкова величина $X$ має бета-розподіл. Пишуть: $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$.

Форма графіка

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів $\alpha$ і $\beta$.

• $\alpha <1,\ \beta <1$ — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
• $\alpha <1,\ \beta \geq 1$ чи $\alpha =1,\ \beta >1$ — графік строго спадний (синя крива)
  • $\alpha =1,\ \beta >2$ — графік строго опуклий;
  • $\alpha =1,\ \beta =2$ — графік є прямою лінїєю;
  • $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ — графік строго ввігнутий;
• $\alpha =1,\ \beta =1$ графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
• $\alpha =1,\ \beta <1$ або $\alpha >1,\ \beta \leq 1$ — графік строго зростаючий (зелена крива);
  • $\alpha >2,\ \beta =1$ — графік строго опуклий;
  • $\alpha =2,\ \beta =1$ — графік є прямою линією;
  • $1<\alpha <2,\ \beta =1$ — графік строго ввігнутий;
• $\alpha >1,\ \beta >1$ — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли $\alpha =\beta$, густина ймовірності симетична відносно $1/2$ (червона та пурпурова криві), то

$f_{X}(x-1/2)=f_{X}(x+1/2),\;x\in [0,1/2]$.

Моменти

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини $X$, що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

$\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$,

$\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$.

Зв'язок з іншими розподілами

Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

$\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$

$X,Y$ — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому $X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)$, а $Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)$, то

${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$

Апріорний розподіл Голдейна

$B(0,0)$: густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними.

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн, який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p⁻¹(1−p)⁻¹. Функцію p⁻¹(1−p)⁻¹ можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p⁻¹(1−p)⁻¹ розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.