Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Функція ймовірностей
Функція розподілу
Функція розподілу ймовірностей
{{{cdf_image}}}
Параметри
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода для
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Зміст

ОзначенняРедагувати

Нехай розподіл випадкової величини   задаєтся густиною ймовірності  , що має вигляд:

 ,

де

  •   довільні фіксовані параметри, і
  •   — бета-функція.

Тоді випадкова величина   має бета-розподіл. Пишуть:  .

Форма графікаРедагувати

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів   і  .

  •   — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
  •   чи   — графік строго спадний (синя крива)
    •   — графік строго опуклий;
    •   — графік є прямою лінїєю;
    •   — графік строго ввігнутий;
  •   графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
  •   або   — графік строго зростаючий (зелена крива);
    •   — графік строго опуклий;
    •   — графік є прямою линією;
    •   — графік строго ввігнутий;
  •   — график унімодальний[en] (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли  , густина ймовірності симетична відносно   (червона та пурпурова криві), то

 .

МоментиРедагувати

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини  , що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

 ,
 .

Зв'язок з іншими розподіламиРедагувати

Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

 

  — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому  , а  , то

 


Апріорний розподіл ГолдейнаРедагувати

 
 : густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними.

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн,[1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p−1(1−p)−1. Функцію p−1(1−p)−1 можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p−1(1−p)−1 розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.


ЗноскиРедагувати

  1. Haldane, J.B.S. (1932). A note on inverse probability. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28: 55–61. doi:10.1017/s0305004100010495. 

ПосиланняРедагувати