У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:
Бета .
Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів .
Бета-розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри
α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0} Носій функції
x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]\!} Розподіл імовірностей
x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!} Функція розподілу ймовірностей (cdf)
I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!} Середнє
α α + β {\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!} Мода
α − 1 α + β − 2 {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!} для α > 1 , β > 1 {\displaystyle \alpha >1,\beta >1} Дисперсія
α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!} Коефіцієнт асиметрії
2 ( β − α ) α + β + 1 ( α + β + 2 ) α β {\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}} Коефіцієнт ексцесу
6 α 3 − α 2 ( 2 β − 1 ) + β 2 ( β + 1 ) − 2 α β ( β + 2 ) α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 ) {\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!} Твірна функція моментів (mgf)
1 + ∑ k = 1 ∞ ( ∏ r = 0 k α + r α + β + r ) t k k ! {\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}} Характеристична функція
1 F 1 ( α ; α + β ; i t ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
Означення
ред.
Нехай розподіл випадкової величини X {\displaystyle X}
задаєтся густиною ймовірності f X {\displaystyle f_{X}} ,
що має вигляд:
f X ( x ) = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}} ,де
α , β > 0 {\displaystyle \alpha ,\beta >0} довільні фіксовані параметри, і
B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx} — бета-функція .Тоді випадкова величина X {\displaystyle X} має бета-розподіл. Пишуть: X ∼ B ( α , β ) {\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )} .
Форма графіка
ред.
Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від
вибору параметрів α {\displaystyle \alpha } і β {\displaystyle \beta } .
α < 1 , β < 1 {\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1} — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
α < 1 , β ≥ 1 {\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1} чи α = 1 , β > 1 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1} — графік строго спадний (синя крива)
α = 1 , β > 2 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2} — графік строго опуклий;
α = 1 , β = 2 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2} — графік є прямою лінїєю;
α = 1 , 1 < β < 2 {\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2} — графік строго
ввігнутий ;
α = 1 , β = 1 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1} графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу ;
α = 1 , β < 1 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1} або α > 1 , β ≤ 1 {\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1} — графік строго зростаючий (зелена крива);
α > 2 , β = 1 {\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1} — графік строго опуклий;
α = 2 , β = 1 {\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1} — графік є прямою линією;
1 < α < 2 , β = 1 {\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1} — графік строго ввігнутий;
α > 1 , β > 1 {\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1} — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)У випадку, коли α = β {\displaystyle \alpha =\beta } , густина ймовірності симетична
відносно 1 / 2 {\displaystyle 1/2} (червона та пурпурова криві), то
f X ( x − 1 / 2 ) = f X ( x + 1 / 2 ) , x ∈ [ 0 , 1 / 2 ] {\displaystyle f_{X}(x-1/2)=f_{X}(x+1/2),\;x\in [0,1/2]} . Зв'язок з іншими розподілами
ред.
Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:
U [ 0 , 1 ] ≡ B ( 1 , 1 ) {\displaystyle \mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)} X , Y {\displaystyle X,Y} — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому X ∼ Γ ( α , 1 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)} , а Y ∼ Γ ( β , 1 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)} , то
X X + Y ∼ B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
Апріорний розподіл Голдейна
ред.
B ( 0 , 0 ) {\displaystyle B(0,0)} : густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака , і нульова між ними.Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн ,[1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p −1 (1−p )−1 . Функцію p −1 (1−p )−1 можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p −1 (1−p )−1 розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака , і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Beta distribution (англ.) . Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою
перекладу з англійської.
Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад .
Примітки
ред.
Посилання
ред.